cứ tuiiiiiiiij d dkkejeke

Câu 1. Để tính tích phân $\int \frac{2x - 1}{x} \, dx$, ta thực hiện như sau: \[ \int \frac{2x - 1}{x} \, dx = \int \left( \frac{2x}{x} - \frac{1}{x} \right) \, dx = \int \left( 2 - \frac{1}{x} \right) \, dx \] Ta tách tích phân thành hai phần: \[ = \int 2 \, dx - \int \frac{1}{x} \, dx \] Tích phân từng phần: \[ = 2x - \ln |x| + C \] Trong đó, \(C\) là hằng số tích phân. So sánh với dạng \(a + b \ln c\): \[ 2x - \ln |x| + C = a + b \ln c \] Ta nhận thấy rằng: \[ a = 2x + C, \quad b = -1, \quad c = |x| \] Do \(c < 5\), ta chọn \(c = 1\) (vì \(|x|\) có thể là bất kỳ giá trị dương nào, nhưng để đơn giản và thỏa mãn \(c < 5\), ta chọn \(c = 1\)). Vậy: \[ a = 2x + C, \quad b = -1, \quad c = 1 \] Tính \(T = a + b - c\): \[ T = (2x + C) + (-1) - 1 = 2x + C - 2 \] Vì \(C\) là hằng số tích phân, ta có thể chọn \(C = 0\) để đơn giản hóa: \[ T = 2x - 2 \] Vậy đáp án cuối cùng là: \[ T = 2x - 2 \] Câu 2: Để tính số tiền mà các nhà toán học phải chi trả để trồng hoa hồng trên mảnh vườn, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình của các parabol. 2. Tính diện tích phần mảnh vườn nằm trong cả hai parabol. 3. Tính chi phí để trồng hoa hồng. Bước 1: Xác định phương trình của các parabol Trung điểm của cạnh dài là $(8, 0)$ và các parabol đi qua các điểm $(0, 8)$ và $(16, 8)$. Ta giả sử phương trình của parabol là $y = a(x - 8)^2 + k$. Vì parabol đi qua $(0, 8)$ và $(16, 8)$, ta có: \[ 8 = a(0 - 8)^2 + k \] \[ 8 = a(16 - 8)^2 + k \] Từ đây, ta thấy rằng $k = 8$ và $a(64) = 0$, suy ra $a = -\frac{1}{8}$. Vậy phương trình của parabol là: \[ y = -\frac{1}{8}(x - 8)^2 + 8 \] Bước 2: Tính diện tích phần mảnh vườn nằm trong cả hai parabol Diện tích phần mảnh vườn nằm trong cả hai parabol là diện tích giữa hai parabol từ $x = 0$ đến $x = 16$. Ta tính diện tích này bằng cách tính tích phân của khoảng cách giữa hai parabol từ $x = 0$ đến $x = 16$. Phương trình của parabol đối xứng là: \[ y = -\frac{1}{8}(x - 8)^2 + 8 \] Diện tích giữa hai parabol từ $x = 0$ đến $x = 16$ là: \[ A = 2 \int_{0}^{8} \left[ 8 - \left(-\frac{1}{8}(x - 8)^2 + 8\right) \right] dx \] \[ A = 2 \int_{0}^{8} \frac{1}{8}(x - 8)^2 dx \] Thực hiện tích phân: \[ A = 2 \cdot \frac{1}{8} \int_{0}^{8} (x - 8)^2 dx \] \[ A = \frac{1}{4} \left[ \frac{(x - 8)^3}{3} \right]_{0}^{8} \] \[ A = \frac{1}{4} \left[ \frac{(8 - 8)^3}{3} - \frac{(0 - 8)^3}{3} \right] \] \[ A = \frac{1}{4} \left[ 0 - \frac{-512}{3} \right] \] \[ A = \frac{1}{4} \cdot \frac{512}{3} \] \[ A = \frac{128}{3} \] Bước 3: Tính chi phí để trồng hoa hồng Chi phí để trồng hoa hồng là 45 000 đồng/m². Vậy tổng chi phí là: \[ \text{Chi phí} = 45 000 \times \frac{128}{3} \] \[ \text{Chi phí} = 1 920 000 \text{ đồng} \] Đáp số: Số tiền mà các nhà toán học phải chi trả để trồng hoa hồng là 1 920 000 đồng. Câu 3. Tọa độ của điểm P là (0; 0; 4). Tọa độ của điểm Q là (6; 0; 0). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{PQ}$ là (6 - 0; 0 - 0; 0 - 4) hay (6; 0; -4).