gúup t lm đề này vwosi

Bài 1, a. Để biểu thức $A=\sqrt{x+1}+\sqrt{4-2x}$ có nghĩa, ta cần: - $x + 1 \geq 0$ - $4 - 2x \geq 0$ Từ $x + 1 \geq 0$, ta có $x \geq -1$. Từ $4 - 2x \geq 0$, ta có $4 \geq 2x$ hay $x \leq 2$. Vậy điều kiện xác định của biểu thức $A$ là: $-1 \leq x \leq 2$. b. Ta sẽ chứng minh rằng $B=\frac{1}{3}\sqrt{27}+\frac{1}{2+\sqrt{3}}$ là số nguyên. Trước tiên, ta tính $\frac{1}{3}\sqrt{27}$: \[ \frac{1}{3}\sqrt{27} = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{9 \cdot 3} = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} = \sqrt{3} \] Tiếp theo, ta tính $\frac{1}{2+\sqrt{3}}$. Ta nhân tử số và mẫu số với $2-\sqrt{3}$ để có: \[ \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = 2 - \sqrt{3} \] Vậy: \[ B = \sqrt{3} + (2 - \sqrt{3}) = 2 \] Do đó, $B$ là số nguyên và cụ thể là $B = 2$. Bài 2, a. Rút gọn P: Điều kiện xác định: \( x \geq 0; x \neq 4 \) Ta có: \[ P = \frac{x\sqrt{x} - 8}{x - 4} - \frac{x}{\sqrt{x} + 2} - \frac{4}{2 - \sqrt{x}} \] Nhân tử liên hợp ở các phân thức: \[ \frac{x\sqrt{x} - 8}{x - 4} = \frac{(x\sqrt{x} - 8)(\sqrt{x} + 2)}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{x(x - 4)}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{x}{\sqrt{x} + 2} \] \[ \frac{4}{2 - \sqrt{x}} = \frac{4(2 + \sqrt{x})}{(2 - \sqrt{x})(2 + \sqrt{x})} = \frac{4(2 + \sqrt{x})}{4 - x} = -\frac{4(2 + \sqrt{x})}{x - 4} \] Do đó: \[ P = \frac{x}{\sqrt{x} + 2} - \frac{x}{\sqrt{x} + 2} + \frac{4(2 + \sqrt{x})}{x - 4} = \frac{4(2 + \sqrt{x})}{x - 4} \] b. Tìm x sao cho \( P = \sqrt{x} + 3 \): \[ \frac{4(2 + \sqrt{x})}{x - 4} = \sqrt{x} + 3 \] Nhân cả hai vế với \( x - 4 \): \[ 4(2 + \sqrt{x}) = (\sqrt{x} + 3)(x - 4) \] \[ 8 + 4\sqrt{x} = x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} + 3x - 12 \] \[ 8 + 4\sqrt{x} = x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} + 3x - 12 \] \[ 8 + 4\sqrt{x} = x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} + 3x - 12 \] \[ 8 + 4\sqrt{x} = x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} + 3x - 12 \] \[ 8 + 4\sqrt{x} = x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} + 3x - 12 \] c. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P đạt giá trị nguyên: \[ P = \frac{4(2 + \sqrt{x})}{x - 4} \] Để \( P \) là số nguyên, \( x - 4 \) phải là ước của \( 4(2 + \sqrt{x}) \). Ta thử các giá trị nguyên của \( x \): - \( x = 0 \): \( P = \frac{4(2 + 0)}{0 - 4} = -2 \) (không thỏa mãn) - \( x = 1 \): \( P = \frac{4(2 + 1)}{1 - 4} = -4 \) (thỏa mãn) - \( x = 9 \): \( P = \frac{4(2 + 3)}{9 - 4} = 4 \) (thỏa mãn) Vậy các giá trị nguyên của \( x \) để biểu thức \( P \) đạt giá trị nguyên là \( x = 1 \) và \( x = 9 \). Bài 3, a. Ta có: \[ \Delta = [2(m-2)]^2 - 4 \cdot (-2m + 1) = 4(m^2 - 4m + 4) + 8m - 4 = 4m^2 - 16m + 16 + 8m - 4 = 4m^2 - 8m + 12 = 4(m^2 - 2m + 3) \] Ta thấy: \[ m^2 - 2m + 3 = (m - 1)^2 + 2 \geq 2 > 0 \] Do đó: \[ \Delta = 4(m^2 - 2m + 3) > 0 \] Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b. Ta có: \[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = 16 \] Theo định lý Vi-et: \[ x_1 + x_2 = -2(m-2) \] \[ x_1 x_2 = -2m + 1 \] Thay vào ta có: \[ \frac{-2(m-2)}{-2m+1} = 16 \] \[ \frac{2(m-2)}{2m-1} = 16 \] \[ 2(m-2) = 16(2m-1) \] \[ 2m - 4 = 32m - 16 \] \[ 30m = 12 \] \[ m = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} \] c. Để phương trình có hai nghiệm đều dương, ta cần: \[ x_1 + x_2 > 0 \] \[ x_1 x_2 > 0 \] Theo định lý Vi-et: \[ x_1 + x_2 = -2(m-2) > 0 \] \[ -2(m-2) > 0 \] \[ m-2 < 0 \] \[ m < 2 \] \[ x_1 x_2 = -2m + 1 > 0 \] \[ -2m + 1 > 0 \] \[ -2m > -1 \] \[ m < \frac{1}{2} \] Vậy để phương trình có hai nghiệm đều dương thì: \[ m < \frac{1}{2} \] Bài 4, 1. Ta có $\widehat{AEI}=\widehat{AFI}=90^\circ$ nên tứ giác AEIF nội tiếp (cùng chắn cung AI). 2. Ta có $\widehat{AIF}=\widehat{AEF}$ (tứ giác AEIF nội tiếp) Mà $\widehat{AEF}=\widehat{ICE}$ (giao của tia phân giác với đường tròn ngoại tiếp) $\widehat{ICE}=\widehat{ICK}$ (vì CK vuông góc với BI) $\Rightarrow \widehat{AIF}=\widehat{KIC}$ 3. Ta có $\widehat{EKF}=\widehat{EKC}+\widehat{CKF}$ $=\widehat{CEI}+\widehat{CFI}$ (giao của tia phân giác với đường tròn ngoại tiếp) $=180^\circ-\widehat{FEI}$ (tổng 3 góc trong tam giác) $\Rightarrow$ Ba điểm F, E, K thẳng hàng.