Câu 1.
a) Toạ độ đỉnh trục đối xứng
- Đồ thị hàm số bậc hai có đỉnh tại điểm , trong đó và . Từ đồ thị, ta thấy đỉnh của parabol là điểm . Do đó, toạ độ đỉnh đúng là và trục đối xứng là .
b) x thuộc các khoảng và thì
- Từ đồ thị, ta thấy rằng hàm số có giá trị dương khi thuộc các khoảng và . Điều này có nghĩa là khi hoặc .
c) Đồng biến trên khoảng nghịch biến trên khoảng
- Hàm số bậc hai đồng biến khi và nghịch biến khi , trong đó là hoành độ đỉnh. Từ đồ thị, ta thấy đỉnh của parabol là điểm , do đó hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng .
d) Hệ số
- Từ đồ thị, ta thấy rằng parabol mở rộng lên trên, tức là hệ số phải dương (). Ngoài ra, từ đồ thị, ta thấy rằng hàm số cắt trục tung tại điểm và điểm này nằm phía trên trục hoành, do đó .
Kết luận:
a) Đúng
b) Đúng
c) Đúng
d) Đúng
Đáp án: a, b, c, d
Câu 2.
a) Ta có phương trình đường thẳng và đường tròn
Phương trình đường tròn tâm và tiếp xúc với đường thẳng là:
Đường thẳng có một vectơ pháp tuyến
Phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với là:
Gọi giao điểm của đường thẳng này với là . Ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình này:
Từ phương trình thứ nhất ta có:
Thay vào phương trình thứ hai:
Thay vào phương trình :
Vậy giao điểm là .
Khoảng cách từ tâm đến đường thẳng là:
Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng , nên bán kính của đường tròn là .
Phương trình đường tròn tâm và tiếp xúc với đường thẳng là:
b) Đúng vì đường thẳng có vectơ pháp tuyến .
c) Sai vì đường tròn có tâm và bán kính .
d) Ta kiểm tra xem đường thẳng có cắt đường tròn hay không.
Phương trình đường thẳng có thể viết lại thành:
Thay vào phương trình đường tròn :
Ta thấy rằng phương trình này không có nghiệm thực vì .
Vậy đường thẳng không cắt đường tròn .
Đáp án đúng là d) Đường thẳng không cắt đường tròn .
Câu 1.
Để xác định phương trình của parabol , ta cần tìm các hệ số , , và .
Trước tiên, ta biết rằng parabol đi qua điểm . Điều này có nghĩa là khi , . Thay vào phương trình parabol, ta có:
Do đó, ta đã tìm được .
Tiếp theo, ta biết rằng đỉnh của parabol là . Đỉnh của parabol có tọa độ . Vì vậy, ta có:
Thay và vào phương trình parabol, ta có:
Bây giờ, ta đã tìm được . Thay vào , ta có:
Vậy, phương trình của parabol là:
Cuối cùng, ta cần tính :
Đáp số:
Câu 2.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tìm tọa độ của đỉnh dựa trên điều kiện nằm trên đường thẳng .
2. Tìm tọa độ của trọng tâm dựa trên điều kiện nằm trên đường thẳng .
3. Tính diện tích tam giác bằng công thức diện tích tam giác khi biết tọa độ các đỉnh.
Bước 1: Tìm tọa độ của đỉnh
Vì nằm trên đường thẳng , nên tọa độ của có dạng .
Bước 2: Tìm tọa độ của trọng tâm
Trọng tâm của tam giác có tọa độ:
Thay tọa độ của , , và :
Vì nằm trên đường thẳng , thay tọa độ của vào phương trình này:
Vậy tọa độ của là .
Bước 3: Tính diện tích tam giác
Diện tích tam giác khi biết tọa độ các đỉnh , , được tính bằng công thức:
Thay tọa độ của , , và :
Vậy diện tích tam giác là .
Đáp số: