Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. a) Chứng minh DE //BC và BC = 2DE b) Vẽ trung tuyến AI của tam giác ADE, kéo dài AI cắt BC tại F. Tứ giác AEFD là hình gì? Vì...

a) Ta có D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC nên DE // BC và BC = 2DE (dấu hiệu nhận biết của tam giác có đường trung bình) b) Ta có AI là trung tuyến của tam giác ADE nên I là trung điểm của DE. Mà DE // BC nên AI // BF (dấu hiệu nhận biết của tam giác có đường trung bình). Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết của hình bình hành) c) Ta có AI // BF và CI là tia phân giác của góc ACB nên góc CAI = góc CBF (hai góc so le trong bằng nhau khi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song). Mà góc CAI = góc CAF (AI là tia phân giác của góc CAD) nên góc CAF = góc CBF. Do đó tam giác ACF là tam giác cân tại C (tổng quát của tam giác cân). Khi đó CI là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ACF (tính chất của tam giác cân) nên AM = MF. Mà MF = MB (dấu hiệu nhận biết của tam giác có đường trung bình) nên 2AM = MB.