giải chi tiết

Câu 19: Để tính giá trị của biểu thức \( M = \frac{|x_1 - x_2|}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định các hệ số của phương trình \( x^2 - 5x + 1 = 0 \): - \( a = 1 \) - \( b = -5 \) - \( c = 1 \) Bước 2: Kiểm tra phương trình có hai nghiệm phân biệt: - Tính \( \Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21 \) - Vì \( \Delta > 0 \), phương trình có hai nghiệm phân biệt. Bước 3: Áp dụng công thức Viète để tìm tổng và tích của các nghiệm: - Tổng của các nghiệm: \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 5 \) - Tích của các nghiệm: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = 1 \) Bước 4: Tính \( |x_1 - x_2| \): - \( |x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1} = \sqrt{25 - 4} = \sqrt{21} \) Bước 5: Tính \( \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} \): - Ta có \( (\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2})^2 = x_1 + x_2 + 2\sqrt{x_1x_2} = 5 + 2\sqrt{1} = 5 + 2 = 7 \) - Do đó, \( \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = \sqrt{7} \) Bước 6: Thay vào biểu thức \( M \): \[ M = \frac{|x_1 - x_2|}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}} = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{21}{7}} = \sqrt{3} \] Vậy giá trị của biểu thức \( M \) là \( \sqrt{3} \). Câu 20: Để phương trình $x^2 - 6x - 2m + 3 = 0$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$, ta cần điều kiện $\Delta \geq 0$. Tính $\Delta$: \[ \Delta = (-6)^2 - 4(1)(-2m + 3) = 36 + 8m - 12 = 24 + 8m. \] Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là: \[ 24 + 8m \geq 0 \implies m \geq -3. \] Theo định lý Vi-et, ta có: \[ x_1 + x_2 = 6, \] \[ x_1 x_2 = -2m + 3. \] Ta cần thỏa mãn điều kiện $x_1^2 + x_2^2 = 20$. Ta có: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2. \] Thay vào: \[ 20 = 6^2 - 2(-2m + 3), \] \[ 20 = 36 + 4m - 6, \] \[ 20 = 30 + 4m, \] \[ 4m = -10, \] \[ m = -\frac{5}{2}. \] Kiểm tra lại điều kiện $m \geq -3$, ta thấy $-\frac{5}{2} \geq -3$ là đúng. Vậy giá trị của $m$ là $-\frac{5}{2}$.