giúp mình với

Câu 1. Để tính giá trị của $I = \int_{-2}^{1} f(x) \, dx$, chúng ta sẽ sử dụng thông tin về diện tích các phần trên đồ thị của hàm số $y = f(x)$. Theo đề bài, diện tích của phần A là 11 và diện tích của phần B là 2. Diện tích của mỗi phần này tương ứng với tích phân của hàm số $f(x)$ trên các khoảng tương ứng. Ta có: \[ I = \int_{-2}^{1} f(x) \, dx = \int_{-2}^{0} f(x) \, dx + \int_{0}^{1} f(x) \, dx \] Trong đó: - $\int_{-2}^{0} f(x) \, dx$ là diện tích của phần A, tức là 11. - $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$ là diện tích của phần B, tức là 2. Do đó: \[ I = 11 + 2 = 13 \] Vậy giá trị của $I = \int_{-2}^{1} f(x) \, dx$ là 13. Đáp số: $I = 13$. Câu 2. Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = 5$ là: \[ S = \int_{0}^{5} v(t) \, dt = \int_{0}^{5} (2t + 3) \, dt \] Tính tích phân: \[ S = \left[ t^2 + 3t \right]_{0}^{5} \] Thay cận vào: \[ S = (5^2 + 3 \cdot 5) - (0^2 + 3 \cdot 0) \] \[ S = (25 + 15) - 0 \] \[ S = 40 \] Vậy quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = 5$ là 40 mét. Đáp số: 40 mét. Câu 3. Để tính tổng chi phí để nhà máy sản xuất 150 tấn sản phẩm A trong tháng, ta cần tìm giá trị của hàm số $C(x)$ tại điểm $x = 150$. Bước 1: Xác định hàm tổng chi phí $C(x)$. Ta biết rằng đạo hàm của $C(x)$ là: \[ C'(x) = 4 - 0,05x + 0,00068x^2 \] Bước 2: Tìm hàm tổng chi phí $C(x)$ bằng cách tích phân đạo hàm $C'(x)$. \[ C(x) = \int (4 - 0,05x + 0,00068x^2) \, dx \] \[ C(x) = 4x - 0,025x^2 + 0,00022667x^3 + C_0 \] Bước 3: Xác định hằng số tích phân $C_0$ bằng cách sử dụng điều kiện ban đầu $C(0) = 40,5$. \[ C(0) = 4(0) - 0,025(0)^2 + 0,00022667(0)^3 + C_0 = 40,5 \] \[ C_0 = 40,5 \] Do đó, hàm tổng chi phí là: \[ C(x) = 4x - 0,025x^2 + 0,00022667x^3 + 40,5 \] Bước 4: Tính tổng chi phí khi sản xuất 150 tấn sản phẩm A. \[ C(150) = 4(150) - 0,025(150)^2 + 0,00022667(150)^3 + 40,5 \] \[ C(150) = 600 - 0,025(22500) + 0,00022667(3375000) + 40,5 \] \[ C(150) = 600 - 562,5 + 764,53125 + 40,5 \] \[ C(150) = 842,53125 \] Vậy tổng chi phí để nhà máy sản xuất 150 tấn sản phẩm A trong tháng là 842,53125 triệu đồng. Câu 4. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f(x)=\cos\frac x2,$ trục hoành và hai đường thẳng $x=0;x=\pi$ là: \[ S = \int_{0}^{\pi} \left(\cos\frac{x}{2}\right)^2 dx \] \[ = \int_{0}^{\pi} \frac{1 + \cos x}{2} dx \] \[ = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (1 + \cos x) dx \] \[ = \frac{1}{2} \left[ x + \sin x \right]_{0}^{\pi} \] \[ = \frac{1}{2} (\pi + \sin \pi - 0 - \sin 0) \] \[ = \frac{\pi}{2} \] Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục Ox là: \[ V = \pi \int_{0}^{\pi} \left(\cos\frac{x}{2}\right)^2 dx \] \[ = \pi \cdot \frac{\pi}{2} \] \[ = \frac{\pi^2}{2} \] Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm: \[ V \approx 4.93 \] Đáp số: $V \approx 4.93$