GIup mik vs

Câu 1. Để tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. A. Đồ thị hàm số $y=a^x$ và đồ thị hàm số $y=\log_a x$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$. - Đây là một tính chất cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit. Đồ thị của hai hàm số này luôn đối xứng qua đường thẳng $y=x$. Do đó, mệnh đề này là đúng. B. Hàm số $y=a^x$ với $0 < a < 1$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$. - Hàm số mũ $y=a^x$ với $0 < a < 1$ là hàm số giảm trên khoảng $(-\infty; +\infty)$, không phải là hàm số đồng biến. Do đó, mệnh đề này là sai. C. Hàm số $y=a^x$ với $a > 1$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$. - Hàm số mũ $y=a^x$ với $a > 1$ là hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$, không phải là hàm số nghịch biến. Do đó, mệnh đề này là sai. D. Đồ thị hàm số $y=a^x$ với $a > 0$ và $a \neq 1$ luôn đi qua điểm $M(\alpha; 1)$. - Đồ thị hàm số $y=a^x$ luôn đi qua điểm $(0; 1)$ vì $a^0 = 1$ với mọi $a > 0$ và $a \neq 1$. Điểm $M(\alpha; 1)$ không phải là điểm cố định mà tùy thuộc vào giá trị của $\alpha$. Do đó, mệnh đề này là sai. Kết luận: Mệnh đề đúng là: A. Đồ thị hàm số $y=a^x$ và đồ thị hàm số $y=\log_a x$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$. Câu 2. Tập giá trị của hàm số $y = a^x$ ($a > 0; a \neq 1$) là: A. $(0; +\infty)$ B. $(0; +\infty)$ C. $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ D. $(0; +\infty)$ Lời giải chi tiết: Hàm số $y = a^x$ với $a > 0$ và $a \neq 1$ là hàm số mũ. Ta biết rằng: - Với mọi giá trị thực của $x$, $a^x$ luôn dương, nghĩa là $a^x > 0$. - Hàm số mũ $y = a^x$ có giá trị tiếp cận đến 0 khi $x$ tiến đến $-\infty$, nhưng không bao giờ bằng 0. - Hàm số mũ $y = a^x$ có giá trị tăng không giới hạn khi $x$ tiến đến $+\infty$. Do đó, tập giá trị của hàm số $y = a^x$ là khoảng mở từ 0 đến vô cùng, không bao gồm 0. Vậy tập giá trị của hàm số $y = a^x$ là $(0; +\infty)$. Đáp án đúng là: D. $(0; +\infty)$ Câu 3. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một để xác định phát biểu nào không đúng. A. Hai hàm số $y=a^x$ và $y=\log_a x$ có cùng tập giá trị. - Hàm số $y=a^x$ có tập giá trị là $(0, +\infty)$ vì $a^x > 0$ với mọi $x$. - Hàm số $y=\log_a x$ có tập giá trị là $\mathbb{R}$ vì $\log_a x$ có thể nhận mọi giá trị thực khi $x$ thay đổi trong khoảng $(0, +\infty)$. - Vậy phát biểu này không đúng vì hai hàm số không có cùng tập giá trị. B. Hai hàm số $y=a^x$ và $y=\log_a x$ có cùng tính đơn điệu. - Nếu $a > 1$, hàm số $y=a^x$ là hàm số đồng biến và hàm số $y=\log_a x$ cũng là hàm số đồng biến. - Nếu $0 < a < 1$, hàm số $y=a^x$ là hàm số nghịch biến và hàm số $y=\log_a x$ cũng là hàm số nghịch biến. - Vậy phát biểu này đúng vì hai hàm số có cùng tính đơn điệu. C. Đồ thị hai hàm số $y=a^x$ và $y=\log_a x$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$. - Đây là tính chất cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit. Đồ thị của $y=a^x$ và $y=\log_a x$ luôn đối xứng qua đường thẳng $y=x$. - Vậy phát biểu này đúng. D. Đồ thị hai hàm số $y=a^x$ và $y=\log_a x$ đều có đường tiệm cận. - Đồ thị của $y=a^x$ có đường tiệm cận ngang là $y=0$. - Đồ thị của $y=\log_a x$ có đường tiệm cận dọc là $x=0$. - Vậy phát biểu này đúng. Từ đó, phát biểu không đúng là: A. Hai hàm số $y=a^x$ và $y=\log_a x$ có cùng tập giá trị. Đáp án: A. Câu 4. Hàm số $y=(\sqrt2-1)^x$ là hàm số mũ với cơ số $a=\sqrt2-1$. Ta biết rằng $\sqrt2 \approx 1,414$, do đó $\sqrt2 - 1 \approx 0,414 < 1$. Vậy cơ số $a = \sqrt2 - 1$ nhỏ hơn 1. Theo tính chất của hàm số mũ: - Nếu cơ số $a > 1$, hàm số đồng biến. - Nếu $0 < a < 1$, hàm số nghịch biến. Trong trường hợp này, vì $\sqrt2 - 1 < 1$, nên hàm số $y=(\sqrt2-1)^x$ là hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$. Do đó, phát biểu đúng là: A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$. Đáp án: A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$. Câu 5. Hàm số $y=(2x-1)^{2017}$ là hàm đa thức, do đó tập xác định của nó là tập số thực $\mathbb{R}$. Vậy đáp án đúng là A. $D=\mathbb{R}$. Câu 6. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = (3x^2 - 1)^{-2} \), ta cần đảm bảo rằng mẫu số của hàm số không bằng không. Bước 1: Xác định điều kiện để mẫu số không bằng không: \[ 3x^2 - 1 \neq 0 \] Bước 2: Giải phương trình \( 3x^2 - 1 = 0 \): \[ 3x^2 = 1 \] \[ x^2 = \frac{1}{3} \] \[ x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \] Bước 3: Kết luận tập xác định của hàm số: Hàm số \( y = (3x^2 - 1)^{-2} \) sẽ không xác định tại \( x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \). Do đó, tập xác định của hàm số là tất cả các số thực ngoại trừ \( x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \). Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \right\} \] Đáp án đúng là: A. \( D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \right\} \) Câu 7. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = (x^2 - 3x + 2)^{-6} \), ta cần đảm bảo rằng mẫu số của hàm số không bằng không vì mẫu số bằng không sẽ làm cho hàm số không xác định. Bước 1: Tìm các giá trị của \( x \) làm cho mẫu số bằng không: \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] Bước 2: Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] Phương trình này có thể được phân tích thành: \[ (x - 1)(x - 2) = 0 \] Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình: \[ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \] \[ x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \] Bước 4: Xác định tập xác định của hàm số: Hàm số \( y = (x^2 - 3x + 2)^{-6} \) không xác định tại \( x = 1 \) và \( x = 2 \). Do đó, tập xác định của hàm số là tất cả các số thực ngoại trừ \( x = 1 \) và \( x = 2 \). Tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{1, 2\} \] Vậy đáp án đúng là: B. \( D = \mathbb{R} \setminus \{1, 2\} \) Câu 8. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \log_{0,5}(x + 1) \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu logarit phải dương. Cụ thể, ta có: \[ x + 1 > 0 \] Giải bất phương trình này: \[ x > -1 \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = (-1; +\infty) \] Do đó, đáp án đúng là: A. \( D = (-1; +\infty) \) Đáp số: A. \( D = (-1; +\infty) \) Câu 9. Để hàm số $y = \log \sqrt{x^2 + x - 12}$ có nghĩa, ta cần đảm bảo rằng biểu thức dưới dấu căn và biểu thức trong logarit đều dương. Bước 1: Xác định điều kiện của căn thức: \[ \sqrt{x^2 + x - 12} \] Biểu thức này có nghĩa khi: \[ x^2 + x - 12 > 0 \] Bước 2: Giải bất phương trình \(x^2 + x - 12 > 0\): Ta tìm nghiệm của phương trình \(x^2 + x - 12 = 0\) bằng cách sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 1\), \(b = 1\), và \(c = -12\). Thay vào công thức: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = -4 \] Bước 3: Xác định khoảng giá trị của \(x\) sao cho \(x^2 + x - 12 > 0\): Ta vẽ biểu đồ số hoặc sử dụng phương pháp thử các khoảng: - Khi \(x < -4\), chọn \(x = -5\): \[ (-5)^2 + (-5) - 12 = 25 - 5 - 12 = 8 > 0 \] - Khi \(-4 < x < 3\), chọn \(x = 0\): \[ 0^2 + 0 - 12 = -12 < 0 \] - Khi \(x > 3\), chọn \(x = 4\): \[ 4^2 + 4 - 12 = 16 + 4 - 12 = 8 > 0 \] Vậy, \(x^2 + x - 12 > 0\) khi \(x \in (-\infty, -4) \cup (3, +\infty)\). Bước 4: Kết luận: Hàm số \(y = \log \sqrt{x^2 + x - 12}\) có nghĩa khi \(x \in (-\infty, -4) \cup (3, +\infty)\). Đáp án đúng là: A. \(x \in (-\infty, -4) \cup (3, +\infty)\). Câu 10. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \log_3 \frac{x+3}{2-x} \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu logarit dương và mẫu số khác 0. Bước 1: Xác định điều kiện để mẫu số khác 0: \[ 2 - x \neq 0 \] \[ x \neq 2 \] Bước 2: Xác định điều kiện để biểu thức trong dấu logarit dương: \[ \frac{x+3}{2-x} > 0 \] Ta sẽ giải bất phương trình này bằng phương pháp xét dấu. - Tìm các điểm làm thay đổi dấu của tử số và mẫu số: + Tử số: \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \) + Mẫu số: \( 2 - x = 0 \Rightarrow x = 2 \) - Xét dấu của biểu thức \( \frac{x+3}{2-x} \) trên các khoảng được xác định bởi các điểm \( x = -3 \) và \( x = 2 \): + Khi \( x < -3 \): \( x + 3 < 0 \) và \( 2 - x > 0 \). Vậy \( \frac{x+3}{2-x} < 0 \). + Khi \( -3 < x < 2 \): \( x + 3 > 0 \) và \( 2 - x > 0 \). Vậy \( \frac{x+3}{2-x} > 0 \). + Khi \( x > 2 \): \( x + 3 > 0 \) và \( 2 - x < 0 \). Vậy \( \frac{x+3}{2-x} < 0 \). Do đó, biểu thức \( \frac{x+3}{2-x} > 0 \) khi \( -3 < x < 2 \). Bước 3: Kết hợp các điều kiện đã tìm được: \[ x \neq 2 \] \[ -3 < x < 2 \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = (-3, 2) \] Đáp án đúng là: A. \( D = (-3, 2) \) Câu 11. Để tìm tập xác định (TXĐ) của hàm số \( y = \frac{1}{\sqrt{2 - x}} + \ln(x - 1) \), chúng ta cần đảm bảo rằng các thành phần trong hàm số đều có nghĩa. 1. Phân thức \(\frac{1}{\sqrt{2 - x}}\): - Để căn thức \(\sqrt{2 - x}\) có nghĩa, ta cần \(2 - x > 0\). Điều này dẫn đến \(x < 2\). - Để phân thức \(\frac{1}{\sqrt{2 - x}}\) có nghĩa, ta cần \(\sqrt{2 - x} \neq 0\). Điều này cũng dẫn đến \(x < 2\). 2. Logarit \(\ln(x - 1)\): - Để logarit \(\ln(x - 1)\) có nghĩa, ta cần \(x - 1 > 0\). Điều này dẫn đến \(x > 1\). Từ hai điều kiện trên, ta có: \[ 1 < x < 2 \] Vậy tập xác định của hàm số là \( (1, 2) \). Do đó, đáp án đúng là: A. \( (1, 2) \) Đáp số: A. \( (1, 2) \) Câu 12. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \frac{e^x}{e^x - 1} \), ta cần đảm bảo rằng mẫu số \( e^x - 1 \) khác 0. Bước 1: Xác định điều kiện để mẫu số khác 0: \[ e^x - 1 \neq 0 \] \[ e^x \neq 1 \] Bước 2: Giải phương trình \( e^x = 1 \): \[ e^x = 1 \] \[ x = 0 \] Bước 3: Kết luận tập xác định: Hàm số \( y = \frac{e^x}{e^x - 1} \) sẽ không xác định khi \( x = 0 \). Do đó, tập xác định của hàm số là tất cả các số thực ngoại trừ \( x = 0 \). Tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{0\} \] Vậy đáp án đúng là: A. \( D = \mathbb{R} \setminus \{0\} \) Đáp số: A. \( D = \mathbb{R} \setminus \{0\} \) Câu 13. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \sqrt{-2x^2 + 5x - 2} + \ln \frac{1}{x^2 - 1} \), chúng ta cần đảm bảo rằng các thành phần trong biểu thức đều có nghĩa. 1. Phân tích căn thức: \[ \sqrt{-2x^2 + 5x - 2} \] Để căn thức này có nghĩa, biểu thức dưới dấu căn phải lớn hơn hoặc bằng 0: \[ -2x^2 + 5x - 2 \geq 0 \] Ta giải bất phương trình này bằng phương pháp tìm nghiệm của phương trình bậc hai: \[ -2x^2 + 5x - 2 = 0 \] Tính delta: \[ \Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(-2)(-2) = 25 - 16 = 9 \] Nghiệm của phương trình: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 + 3}{-4} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 - 3}{-4} = 2 \] Biểu thức \(-2x^2 + 5x - 2\) là một parabol mở xuống (vì hệ số \(a = -2 < 0\)), do đó nó lớn hơn hoặc bằng 0 trong khoảng giữa hai nghiệm: \[ 1 \leq x \leq 2 \] 2. Phân tích logarit: \[ \ln \frac{1}{x^2 - 1} \] Để logarit này có nghĩa, biểu thức trong dấu logarit phải lớn hơn 0: \[ \frac{1}{x^2 - 1} > 0 \] Điều này tương đương với: \[ x^2 - 1 > 0 \] Giải bất phương trình này: \[ x^2 > 1 \] \[ x < -1 \quad \text{hoặc} \quad x > 1 \] 3. Giao của các điều kiện: Kết hợp các điều kiện từ cả hai phần trên, ta có: \[ 1 \leq x \leq 2 \quad \text{và} \quad (x < -1 \quad \text{hoặc} \quad x > 1) \] Do đó, giao của các điều kiện này là: \[ 1 < x \leq 2 \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = (1, 2] \] Đáp án đúng là: B. \(D = [1, 2]\) Lời giải cuối cùng: \[ \boxed{B.~D = [1, 2]} \]