giúp mình với

Câu 1. Để tính xác suất để các tấm thẻ rút được đều có số chia hết cho 3, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm số lượng các tấm thẻ có số chia hết cho 3: Các số chia hết cho 3 trong khoảng từ 1 đến 50 là: 3, 6, 9, ..., 48. Số lượng các số này là: \[ \frac{48 - 3}{3} + 1 = 16 \] Vậy có 16 tấm thẻ có số chia hết cho 3. 2. Tính tổng số cách chọn 3 tấm thẻ từ 50 tấm thẻ: Số cách chọn 3 tấm thẻ từ 50 tấm thẻ là: \[ C_{50}^{3} = \frac{50!}{3!(50-3)!} = \frac{50 \times 49 \times 48}{3 \times 2 \times 1} = 19600 \] 3. Tính số cách chọn 3 tấm thẻ từ 16 tấm thẻ có số chia hết cho 3: Số cách chọn 3 tấm thẻ từ 16 tấm thẻ là: \[ C_{16}^{3} = \frac{16!}{3!(16-3)!} = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 560 \] 4. Tính xác suất để các tấm thẻ rút được đều có số chia hết cho 3: Xác suất để các tấm thẻ rút được đều có số chia hết cho 3 là: \[ P = \frac{\text{Số cách chọn 3 tấm thẻ có số chia hết cho 3}}{\text{Tổng số cách chọn 3 tấm thẻ từ 50 tấm thẻ}} = \frac{560}{19600} = \frac{1}{35} \] Vậy xác suất để các tấm thẻ rút được đều có số chia hết cho 3 là $\frac{1}{35}$. Câu 2. Điều kiện xác định: \( x > 0; x \neq 1 \). a) Rút gọn biểu thức \( P \): Ta có: \[ P = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} - \frac{2x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{2(x - 1)}{\sqrt{x} - 1} \] Chúng ta sẽ rút gọn từng phân thức một. Phân thức đầu tiên: \[ \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} \] Phân thức thứ hai: \[ \frac{2x + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{2x}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 2\sqrt{x} + 1 \] Phân thức thứ ba: \[ \frac{2(x - 1)}{\sqrt{x} - 1} \] Nhân tử liên hợp ở mẫu số của phân thức thứ ba: \[ \frac{2(x - 1)}{\sqrt{x} - 1} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{2(x - 1)(\sqrt{x} + 1)}{x - 1} = 2(\sqrt{x} + 1) \] Bây giờ, chúng ta có: \[ P = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} - (2\sqrt{x} + 1) + 2(\sqrt{x} + 1) \] Rút gọn biểu thức: \[ P = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} - 2\sqrt{x} - 1 + 2\sqrt{x} + 2 \] \[ P = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} + 1 \] b) Tìm giá trị nhỏ nhất của \( P \): Chúng ta thấy rằng biểu thức \( \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} \) luôn dương vì \( x^2 - \sqrt{x} \geq 0 \) và \( x + \sqrt{x} + 1 > 0 \). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( P \) là khi \( \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} \) nhỏ nhất, tức là khi \( x = 1 \). Tuy nhiên, do điều kiện \( x \neq 1 \), giá trị nhỏ nhất của \( P \) sẽ là: \[ P = 1 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của \( P \) là 1, đạt được khi \( x \to 1 \). Đáp số: a) \( P = \frac{x^2 - \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1} + 1 \) b) Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là 1. Câu 3. a) Thiết lập hàm số của K theo t: Giá vốn của mỗi chiếc áo là: \[ \frac{30000000}{200} = 150000 \text{ (đồng)} \] Giá bán mỗi chiếc áo là 300000 đồng. Tiền lời khi bán một chiếc áo là: \[ 300000 - 150000 = 150000 \text{ (đồng)} \] Hàm số của K theo t là: \[ K = 150000t \] b) Hỏi cần phải bán bao nhiêu chiếc áo mới có thể thu hồi được vốn ban đầu? Muốn thu hồi được vốn ban đầu, tức là số tiền lời K phải bằng 0: \[ 150000t = 0 \] \[ t = \frac{0}{150000} = 0 \] Điều này không đúng vì chúng ta cần số áo để thu hồi vốn ban đầu. Do đó, chúng ta cần số áo để tổng doanh thu bằng vốn ban đầu: \[ 300000t = 30000000 \] \[ t = \frac{30000000}{300000} = 100 \] Vậy cần phải bán 100 chiếc áo mới có thể thu hồi được vốn ban đầu. c) Để lời được 6000000 đồng thì cần phải bán bao nhiêu chiếc áo? Muốn lời được 6000000 đồng, ta có: \[ 150000t = 6000000 \] \[ t = \frac{6000000}{150000} = 40 \] Vậy cần phải bán 40 chiếc áo để lời được 6000000 đồng. Đáp số: a) \( K = 150000t \) b) 100 chiếc áo c) 40 chiếc áo Câu 4. Đổi: 7 giờ 12 phút = 7,2 (giờ) Trong 1 giờ cả 2 vòi chảy được: $1:7,2=\frac{5}{36}$ (bể) Giả sử cả 2 vòi cùng chảy trong 5 giờ thì được: $\frac{5}{36}\times 5=\frac{25}{36}$ (bể) Thời gian vòi 2 chảy riêng là: 6 - 5 = 1 (giờ) 1 giờ vòi 2 chảy được: $(\frac{3}{4}-\frac{25}{36})=\frac{1}{18}$ (bể) Vòi 2 chảy riêng thì đầy bể sau số giờ là: $1:\frac{1}{18}=18$ (giờ) 1 giờ vòi 1 chảy được: $\frac{5}{36}-\frac{1}{18}=\frac{1}{12}$ (bể) Vòi 1 chảy riêng thì đầy bể sau số giờ là: $1:\frac{1}{12}=12$ (giờ) Đáp số: Vòi 1: 12 giờ Vòi 2: 18 giờ Câu 5. a) Ta có $\widehat{ANM}=\widehat{ABM}=90^\circ$ nên tứ giác ABMN nội tiếp đường tròn (ABMN). b) Ta có $\widehat{HNA}=\widehat{HMB}$ (cùng bù với $\widehat{ANM}$) và $\widehat{HAN}=\widehat{HBM}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung MN) nên $\Delta HAN$ đồng dạng với $\Delta HBM$. Từ đó ta có tỉ lệ $\frac{NH}{MH}=\frac{NA}{MB}$ hay $NH.MB=MH.NA$. c) Ta có $\widehat{HAN}=\widehat{HBM}$ (chắn cung MN) và $\widehat{HBM}=\widehat{HCP}$ (cùng bù với $\widehat{ABC}$) nên $\widehat{HAN}=\widehat{HCP}$. Mặt khác, ta cũng có $\widehat{AHN}=\widehat{CHP}$ (đối đỉnh) nên $\Delta HAN$ đồng dạng với $\Delta HCP$. Từ đó ta có tỉ lệ $\frac{AN}{CP}=\frac{HN}{HP}$ hay $\frac{AN}{HN}=\frac{CP}{HP}$. Từ đây ta có: \[Q = \frac{AM}{HM} + \frac{BN}{HN} + \frac{CP}{HP}\] \[= \frac{AM}{HM} + \frac{BN}{HN} + \frac{AN}{HN}\] \[= \frac{AM}{HM} + \frac{BN + AN}{HN}\] Ta biết rằng $\frac{BN + AN}{HN} = \frac{AB}{HN}$ (vì $BN + AN = AB$). Do đó: \[Q = \frac{AM}{HM} + \frac{AB}{HN}\] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \[\left( \frac{AM}{HM} + \frac{AB}{HN} \right) \geq 2 \sqrt{\frac{AM}{HM} \cdot \frac{AB}{HN}}\] Do đó: \[Q \geq 2 \sqrt{\frac{AM}{HM} \cdot \frac{AB}{HN}}\] Ta thấy rằng $\frac{AM}{HM} \cdot \frac{AB}{HN} = \frac{AM \cdot AB}{HM \cdot HN}$. Vì $AM \cdot AB = HM \cdot HN$ (theo tính chất đường cao trong tam giác), nên: \[\frac{AM \cdot AB}{HM \cdot HN} = 1\] Do đó: \[Q \geq 2 \sqrt{1} = 2\] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q là 2, đạt được khi $\frac{AM}{HM} = \frac{AB}{HN} = 1$, tức là khi $AM = HM$ và $AB = HN$. Câu 6. Điều kiện xác định: \( x > 0, y > 0, z > 0 \) Ta có: \[ P = \frac{\sqrt{y^2 + 2x^2}}{xy} + \frac{\sqrt{z^2 + 2y^2}}{yz} + \frac{\sqrt{x^2 + 2z^2}}{zx} \] Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với \( \sqrt{2} \): \[ P = \frac{\sqrt{2(y^2 + 2x^2)}}{xy\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2(z^2 + 2y^2)}}{yz\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2(x^2 + 2z^2)}}{zx\sqrt{2}} \] \[ P = \frac{\sqrt{2y^2 + 4x^2}}{xy\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2z^2 + 4y^2}}{yz\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2x^2 + 4z^2}}{zx\sqrt{2}} \] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ \sqrt{a^2 + b^2} \geq \frac{a + b}{\sqrt{2}} \] Áp dụng vào từng phân số: \[ \sqrt{2y^2 + 4x^2} \geq \frac{2y + 2x}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}(y + x) \] \[ \sqrt{2z^2 + 4y^2} \geq \frac{2z + 2y}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}(z + y) \] \[ \sqrt{2x^2 + 4z^2} \geq \frac{2x + 2z}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}(x + z) \] Do đó: \[ \frac{\sqrt{2y^2 + 4x^2}}{xy\sqrt{2}} \geq \frac{y + x}{xy} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \] \[ \frac{\sqrt{2z^2 + 4y^2}}{yz\sqrt{2}} \geq \frac{z + y}{yz} = \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \] \[ \frac{\sqrt{2x^2 + 4z^2}}{zx\sqrt{2}} \geq \frac{x + z}{zx} = \frac{1}{z} + \frac{1}{x} \] Cộng lại ta có: \[ P \geq \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) + \left( \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right) + \left( \frac{1}{z} + \frac{1}{x} \right) \] \[ P \geq 2 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right) \] Áp dụng bất đẳng thức AM-HM: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq \frac{9}{x + y + z} \] Do đó: \[ P \geq 2 \cdot \frac{9}{x + y + z} = \frac{18}{x + y + z} \] Biết rằng: \[ \frac{1}{x + y} + \frac{1}{y + z} + \frac{1}{z + x} \geq 2020 \] Áp dụng bất đẳng thức AM-HM: \[ \frac{1}{x + y} + \frac{1}{y + z} + \frac{1}{z + x} \geq \frac{9}{2(x + y + z)} \] Do đó: \[ \frac{9}{2(x + y + z)} \geq 2020 \] \[ 9 \geq 4040(x + y + z) \] \[ x + y + z \leq \frac{9}{4040} \] Do đó: \[ P \geq \frac{18}{x + y + z} \geq \frac{18}{\frac{9}{4040}} = 8080 \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là 8080, đạt được khi \( x = y = z \). Đáp số: 8080