cho hàm số f(x)=1/3x^3+mx^2+(m+6)x+1
tìm m để f'(x)0,∀x€R
giải chi tiết câu này giúp mình nhé cảm ơn

Question

cho hàm số f(x)=1/3x^3+mx^2+(m+6)x+1
tìm m để f'(x)>0,∀x€R
giải chi tiết câu này giúp mình nhé cảm ơn

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm của hàm số $ f(x) $. 2. Xác định điều kiện để đạo hàm $ f'(x) > 0 $ với mọi $ x \in \mathbb{R} $. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $ f(x) $. Hàm số đã cho là: $$ f(x) = \frac{1}{3}x^3 + mx^2 + (m+6)x + 1 $$ Tính đạo hàm $ f'(x) $: $$ f'(x) = \left( \frac{1}{3}x^3 \right)' + (mx^2)' + ((m+6)x)' + 1' $$ $$ f'(x) = x^2 + 2mx + (m+6) $$ Bước 2: Xác định điều kiện để $ f'(x) > 0 $ với mọi $ x \in \mathbb{R} $. Để $ f'(x) > 0 $ với mọi $ x \in \mathbb{R} $, ta cần $ f'(x) = x^2 + 2mx + (m+6) $ là một tam thức bậc hai luôn dương. Điều này xảy ra khi tam thức bậc hai này không có nghiệm thực hoặc có nghiệm kép và hệ số của $ x^2 $ dương. Xét tam thức bậc hai $ x^2 + 2mx + (m+6) $: - Hệ số của $ x^2 $ là 1, luôn dương. - Để tam thức luôn dương, дискриминант $ D $ phải nhỏ hơn 0. Tính дискриминант $ D $: $$ D = (2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m+6) $$ $$ D = 4m^2 - 4(m+6) $$ $$ D = 4m^2 - 4m - 24 $$ $$ D = 4(m^2 - m - 6) $$ Yêu cầu $ D < 0 $: $$ 4(m^2 - m - 6) < 0 $$ $$ m^2 - m - 6 < 0 $$ Giải bất phương trình $ m^2 - m - 6 < 0 $: $$ m^2 - m - 6 = 0 $$ Phương trình này có các nghiệm: $$ m = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} $$ $$ m = 3 \quad \text{hoặc} \quad m = -2 $$ Do đó, $ m^2 - m - 6 < 0 $ khi: $$ -2 < m < 3 $$ Vậy, để $ f'(x) > 0 $ với mọi $ x \in \mathbb{R} $, giá trị của $ m $ phải thỏa mãn: $$ -2 < m < 3 $$ Đáp số: $ -2 < m < 3 $.

cho hàm số f(x)=1/3x^3+mx^2+(m+6)x+1 tìm m để f'(x)>0,∀x€R giải chi tiết câu này giúp mình nhé cảm ơn