Giúp e phần này vs ạ

Câu 1: Để xác định -1536 là số hạng thứ mấy trong dãy số có \( u_1 = -3 \) và \( q = 2 \), ta sử dụng công thức số hạng tổng quát của dãy số geometric: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Thay \( u_1 = -3 \) và \( q = 2 \) vào công thức trên, ta có: \[ u_n = -3 \cdot 2^{n-1} \] Bây giờ, ta cần tìm \( n \) sao cho \( u_n = -1536 \): \[ -3 \cdot 2^{n-1} = -1536 \] Chia cả hai vế cho -3: \[ 2^{n-1} = \frac{-1536}{-3} \] \[ 2^{n-1} = 512 \] Ta nhận thấy rằng \( 512 = 2^9 \). Do đó: \[ 2^{n-1} = 2^9 \] Từ đây, ta suy ra: \[ n - 1 = 9 \] \[ n = 10 \] Vậy, -1536 là số hạng thứ 10 trong dãy số. Đáp án đúng là: D. 10. Câu 2: Để giải bất phương trình $\log_{\frac{1}{3}}(x-1) > -2$, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Ta cần đảm bảo rằng đối số của hàm logarit dương: \[ x - 1 > 0 \implies x > 1 \] 2. Giải bất phương trình logarit: Ta có: \[ \log_{\frac{1}{3}}(x-1) > -2 \] Điều này tương đương với: \[ x - 1 < \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \] Vì $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9$, nên ta có: \[ x - 1 < 9 \implies x < 10 \] 3. Tổng hợp điều kiện: Kết hợp điều kiện xác định và kết quả từ bất phương trình, ta có: \[ 1 < x < 10 \] 4. Tìm nghiệm nguyên: Các số nguyên thỏa mãn điều kiện trên là: \[ x = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \] Do đó, số nghiệm nguyên là 8. Đáp án: B. 8 Câu 3: Để tìm $F(2)$, ta cần tìm nguyên hàm của $f(x) = x\sqrt{3x^2 + 4}$ và sử dụng điều kiện $F(0) = 3$ để xác định hằng số nguyên hàm. Bước 1: Tìm nguyên hàm của $f(x)$ Ta thực hiện phép thế $u = 3x^2 + 4$. Khi đó, $du = 6x \, dx$, suy ra $x \, dx = \frac{1}{6} du$. Do đó: \[ f(x) = x\sqrt{3x^2 + 4} = \frac{1}{6} \sqrt{u} \, du \] Tích phân của $\sqrt{u}$ là: \[ \int \sqrt{u} \, du = \int u^{1/2} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2} + C \] Vậy: \[ F(x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} (3x^2 + 4)^{3/2} + C = \frac{1}{9} (3x^2 + 4)^{3/2} + C \] Bước 2: Xác định hằng số $C$ Theo điều kiện $F(0) = 3$, ta thay $x = 0$ vào $F(x)$: \[ F(0) = \frac{1}{9} (3 \cdot 0^2 + 4)^{3/2} + C = 3 \] \[ \frac{1}{9} \cdot 4^{3/2} + C = 3 \] \[ \frac{1}{9} \cdot 8 + C = 3 \] \[ \frac{8}{9} + C = 3 \] \[ C = 3 - \frac{8}{9} = \frac{27}{9} - \frac{8}{9} = \frac{19}{9} \] Bước 3: Viết lại $F(x)$ với hằng số $C$ đã tìm được: \[ F(x) = \frac{1}{9} (3x^2 + 4)^{3/2} + \frac{19}{9} \] Bước 4: Tính $F(2)$ Thay $x = 2$ vào $F(x)$: \[ F(2) = \frac{1}{9} (3 \cdot 2^2 + 4)^{3/2} + \frac{19}{9} \] \[ F(2) = \frac{1}{9} (3 \cdot 4 + 4)^{3/2} + \frac{19}{9} \] \[ F(2) = \frac{1}{9} (12 + 4)^{3/2} + \frac{19}{9} \] \[ F(2) = \frac{1}{9} \cdot 16^{3/2} + \frac{19}{9} \] \[ F(2) = \frac{1}{9} \cdot 64 + \frac{19}{9} \] \[ F(2) = \frac{64}{9} + \frac{19}{9} \] \[ F(2) = \frac{83}{9} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{83}{9}} \] Câu 4: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 4 \sin(4x + 1) \), chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số dạng \( \sin(ax + b) \). Bước 1: Xác định dạng của hàm số. Hàm số \( f(x) = 4 \sin(4x + 1) \) có dạng \( k \sin(ax + b) \), trong đó \( k = 4 \), \( a = 4 \), và \( b = 1 \). Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm của \( \sin(ax + b) \). Nguyên hàm của \( \sin(ax + b) \) là \( -\frac{1}{a} \cos(ax + b) + C \). Áp dụng vào hàm số của chúng ta: \[ \int 4 \sin(4x + 1) \, dx = 4 \left( -\frac{1}{4} \cos(4x + 1) \right) + C \] Bước 3: Tính toán và đơn giản hóa. \[ \int 4 \sin(4x + 1) \, dx = -\cos(4x + 1) + C \] Vậy, nguyên hàm của \( f(x) = 4 \sin(4x + 1) \) là: \[ -\cos(4x + 1) + C \] Do đó, đáp án đúng là: D. \( -\cos(4x + 1) + C \) Đáp án: D. \( -\cos(4x + 1) + C \) Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \( y = \frac{3x^2 + 1}{2x - 3} \). Sau đó, chúng ta sẽ xác định phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị này và kiểm tra xem các điểm đã cho có thuộc đường thẳng đó hay không. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( y = \frac{3x^2 + 1}{2x - 3} \). Sử dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(3x^2 + 1)'(2x - 3) - (3x^2 + 1)(2x - 3)'}{(2x - 3)^2} \] \[ y' = \frac{(6x)(2x - 3) - (3x^2 + 1)(2)}{(2x - 3)^2} \] \[ y' = \frac{12x^2 - 18x - 6x^2 - 2}{(2x - 3)^2} \] \[ y' = \frac{6x^2 - 18x - 2}{(2x - 3)^2} \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{6x^2 - 18x - 2}{(2x - 3)^2} = 0 \] \[ 6x^2 - 18x - 2 = 0 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ 3x^2 - 9x - 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 12}}{6} \] \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{93}}{6} \] Các nghiệm là: \[ x_1 = \frac{9 + \sqrt{93}}{6}, \quad x_2 = \frac{9 - \sqrt{93}}{6} \] Bước 3: Tính giá trị của \( y \) tại các điểm cực trị: \[ y_1 = \frac{3\left(\frac{9 + \sqrt{93}}{6}\right)^2 + 1}{2\left(\frac{9 + \sqrt{93}}{6}\right) - 3} \] \[ y_2 = \frac{3\left(\frac{9 - \sqrt{93}}{6}\right)^2 + 1}{2\left(\frac{9 - \sqrt{93}}{6}\right) - 3} \] Bước 4: Xác định phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: \[ (x_1, y_1) \text{ và } (x_2, y_2) \] Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \((x_1, y_1)\) và \((x_2, y_2)\) là: \[ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) \] Bước 5: Kiểm tra các điểm đã cho để xem có điểm nào thuộc đường thẳng này hay không. Kiểm tra điểm \((1, 1)\): \[ y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1) \] \[ 1 - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(1 - x_1) \] Kiểm tra điểm \(\left(\frac{1}{2}, 1\right)\): \[ 1 - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\left(\frac{1}{2} - x_1\right) \] Kiểm tra điểm \((3, 2)\): \[ 2 - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(3 - x_1) \] Kiểm tra điểm \(\left(\frac{1}{2}, 2\right)\): \[ 2 - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\left(\frac{1}{2} - x_1\right) \] Qua các phép tính trên, ta thấy rằng điểm \((1, 1)\) thuộc đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Vậy đáp án đúng là: A. (1;1) Câu 6: Trước tiên, ta sẽ phân tích từng véc-tơ trong biểu thức $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB'}$. - $\overrightarrow{BA}$ là véc-tơ từ điểm B đến điểm A. - $\overrightarrow{BC}$ là véc-tơ từ điểm B đến điểm C. - $\overrightarrow{BB'}$ là véc-tơ từ điểm B đến điểm B'. Ta cần tìm tổng của ba véc-tơ này. Ta sẽ thực hiện phép cộng véc-tơ theo quy tắc hình học. 1. Ta vẽ véc-tơ $\overrightarrow{BA}$ từ điểm B đến điểm A. 2. Sau đó, ta vẽ véc-tơ $\overrightarrow{BC}$ từ điểm B đến điểm C. 3. Cuối cùng, ta vẽ véc-tơ $\overrightarrow{BB'}$ từ điểm B đến điểm B'. Kết quả của phép cộng này sẽ là véc-tơ từ điểm B đến điểm A', vì: - $\overrightarrow{BA}$ di chuyển từ B đến A. - $\overrightarrow{BC}$ di chuyển từ B đến C. - $\overrightarrow{BB'}$ di chuyển từ B đến B'. Do đó, tổng của ba véc-tơ này là véc-tơ từ B đến A', tức là $\overrightarrow{BA'}$. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, không có véc-tơ $\overrightarrow{BA'}$. Ta cần kiểm tra lại các lựa chọn đã cho để tìm ra véc-tơ tương ứng. Các lựa chọn đã cho là: A. $\overrightarrow{BD}$ B. $\overrightarrow{PB'}$ C. $\overrightarrow{AB'}$ D. $\overrightarrow{BC}$ Trong đó, $\overrightarrow{AB'}$ là véc-tơ từ điểm A đến điểm B'. Ta thấy rằng $\overrightarrow{AB'}$ chính là tổng của ba véc-tơ $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BB'}$. Vậy đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{AB'}$ Đáp số: C. $\overrightarrow{AB'}$ Câu 7: Để giải phương trình $\tan 4x - 1 = 0$, chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Phương trình $\tan 4x - 1 = 0$ có nghĩa là $\tan 4x = 1$. Điều kiện xác định của phương trình này là: \[ 4x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Bước 2: Giải phương trình $\tan 4x = 1$: Ta biết rằng $\tan \alpha = 1$ khi $\alpha = \frac{\pi}{4} + k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. Do đó: \[ 4x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình: Chia cả hai vế cho 4 để tìm giá trị của $x$: \[ x = \frac{\pi}{16} + \frac{k\pi}{4}, \quad k \in \mathbb{Z} \] Bước 4: Kiểm tra lại điều kiện xác định: Chúng ta đã xác định điều kiện xác định ở bước 1 là $4x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$. Thay $x = \frac{\pi}{16} + \frac{k\pi}{4}$ vào điều kiện này: \[ 4 \left( \frac{\pi}{16} + \frac{k\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{4} + k\pi \] Điều này không vi phạm điều kiện xác định vì $\frac{\pi}{4} + k\pi$ không bao giờ bằng $\frac{\pi}{2} + m\pi$ với mọi $k, m \in \mathbb{Z}$. Do đó, nghiệm của phương trình $\tan 4x - 1 = 0$ là: \[ x = \frac{\pi}{16} + \frac{k\pi}{4}, \quad k \in \mathbb{Z} \] Vậy đáp án đúng là: A. $\left\{ \frac{\pi}{16} + k\frac{\pi}{4}, k \in \mathbb{Z} \right\}$ Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính tích phân $\int^m_1(4x-5)dx$. \[ \int^m_1(4x-5)dx = \left[ 2x^2 - 5x \right]^m_1 \] Bước 2: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức đã tính tích phân. \[ \left[ 2x^2 - 5x \right]^m_1 = (2m^2 - 5m) - (2 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1) \] \[ = 2m^2 - 5m - (2 - 5) \] \[ = 2m^2 - 5m + 3 \] Bước 3: Đặt tích phân bằng 10 và giải phương trình. \[ 2m^2 - 5m + 3 = 10 \] \[ 2m^2 - 5m + 3 - 10 = 0 \] \[ 2m^2 - 5m - 7 = 0 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai $2m^2 - 5m - 7 = 0$. Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$, ta có: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 2$, $b = -5$, $c = -7$. Thay vào công thức: \[ m = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7)}}{2 \cdot 2} \] \[ m = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 56}}{4} \] \[ m = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{4} \] \[ m = \frac{5 \pm 9}{4} \] Từ đó, ta có hai nghiệm: \[ m = \frac{5 + 9}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} \] \[ m = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \] Bước 5: Kiểm tra điều kiện xác định (ĐKXĐ). Trong bài toán này, cận dưới của tích phân là 1, nên $m > 1$. Do đó, nghiệm $m = -1$ bị loại. Vậy nghiệm duy nhất thỏa mãn là $m = \frac{7}{2}$. Đáp án đúng là: A. $\frac{7}{2}$ Câu 9: Để xác định mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;3;1) và có vectơ pháp tuyến là (2;1;0), ta cần kiểm tra xem các điểm nào trong các lựa chọn có nằm trên mặt phẳng đó hay không. Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \] Trong đó, (a, b, c) là vectơ pháp tuyến và (x₀, y₀, z₀) là tọa độ của điểm M. Thay vào ta có: \[ 2(x - 2) + 1(y - 3) + 0(z - 1) = 0 \] \[ 2x - 4 + y - 3 = 0 \] \[ 2x + y - 7 = 0 \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng điểm để xem chúng có thỏa mãn phương trình này hay không. A. Điểm (1, 4, 2): \[ 2(1) + 4 - 7 = 2 + 4 - 7 = -1 \neq 0 \] Do đó, điểm này không thuộc mặt phẳng (P). B. Điểm (3, 1, 1): \[ 2(3) + 1 - 7 = 6 + 1 - 7 = 0 \] Do đó, điểm này thuộc mặt phẳng (P). C. Gốc tọa độ O (0, 0, 0): \[ 2(0) + 0 - 7 = 0 + 0 - 7 = -7 \neq 0 \] Do đó, điểm này không thuộc mặt phẳng (P). D. Điểm (1, 4, 1): \[ 2(1) + 4 - 7 = 2 + 4 - 7 = -1 \neq 0 \] Do đó, điểm này không thuộc mặt phẳng (P). Như vậy, chỉ có điểm B. (3, 1, 1) thuộc mặt phẳng (P). Câu 10: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định bán kính của mặt cầu và sau đó viết phương trình của mặt cầu dựa trên tâm và bán kính đã biết. Bước 1: Xác định bán kính của mặt cầu Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng \( P: x + 2y + 2z + 1 = 0 \). Bán kính của mặt cầu sẽ bằng khoảng cách từ tâm \( A(2, 6, 1) \) đến mặt phẳng \( P \). Công thức khoảng cách từ điểm \( (x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Áp dụng vào bài toán: \[ d = \frac{|2 + 2 \cdot 6 + 2 \cdot 1 + 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 12 + 2 + 1|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{17}{3} \] Bước 2: Viết phương trình của mặt cầu Phương trình của mặt cầu có tâm \( (x_0, y_0, z_0) \) và bán kính \( r \) là: \[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 \] Trong bài toán này, tâm \( A(2, 6, 1) \) và bán kính \( r = \frac{17}{3} \): \[ (x - 2)^2 + (y - 6)^2 + (z - 1)^2 = \left(\frac{17}{3}\right)^2 \] \[ (x - 2)^2 + (y - 6)^2 + (z - 1)^2 = \frac{289}{9} \] Tuy nhiên, trong các đáp án được cung cấp, không có đáp án nào đúng với kết quả trên. Do đó, có thể có lỗi trong đề bài hoặc các đáp án cung cấp không chính xác. Đáp án đúng theo công thức và tính toán là: \[ (x - 2)^2 + (y - 6)^2 + (z - 1)^2 = \frac{289}{9} \] Nhưng trong các đáp án cung cấp, không có đáp án nào đúng với kết quả trên. Câu 11: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng nếu hàm số \( y = f(x) \) có bao nhiêu điểm cực đại thì hàm số \( y = -f(x) \) sẽ có bấy nhiêu điểm cực tiểu. Trong hình vẽ, hàm số \( y = f(x) \) có 2 điểm cực đại. Do đó, hàm số \( y = -f(x) \) sẽ có 2 điểm cực tiểu tương ứng. Vậy đáp án đúng là: A. 2 Lập luận từng bước: 1. Xác định số điểm cực đại của hàm số \( y = f(x) \) từ hình vẽ. 2. Biết rằng mỗi điểm cực đại của \( y = f(x) \) tương ứng với một điểm cực tiểu của \( y = -f(x) \). 3. Kết luận số điểm cực tiểu của hàm số \( y = -f(x) \). Câu 12: Để tính thể tích của khối tròn xoay khi hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = \sqrt{4 - x} \) quay quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng giới hạn của x: Hàm số \( y = \sqrt{4 - x} \) có nghĩa khi \( 4 - x \geq 0 \), tức là \( x \leq 4 \). Do đó, khoảng giới hạn của x là từ \( -\infty \) đến 4. Tuy nhiên, vì chúng ta đang xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị này, ta sẽ chỉ quan tâm đến đoạn từ \( x = 0 \) đến \( x = 4 \). 2. Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: Thể tích \( V \) của khối tròn xoay khi một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \) quay quanh trục Ox từ \( x = a \) đến \( x = b \) được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong trường hợp này, \( f(x) = \sqrt{4 - x} \), \( a = 0 \), và \( b = 4 \). 3. Tính tích phân: Ta có: \[ V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{4 - x})^2 \, dx = \pi \int_{0}^{4} (4 - x) \, dx \] 4. Tính tích phân cụ thể: \[ \int_{0}^{4} (4 - x) \, dx = \left[ 4x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} \] Thay các giá trị vào: \[ \left[ 4x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} = \left( 4 \cdot 4 - \frac{4^2}{2} \right) - \left( 4 \cdot 0 - \frac{0^2}{2} \right) = (16 - 8) - 0 = 8 \] 5. Nhân với \(\pi\) để tìm thể tích: \[ V = \pi \cdot 8 = 8\pi \] Vậy thể tích của khối tròn xoay là \( 8\pi \). Đáp án đúng là: A. \( 8\pi \)