Bsjjawjnensnsjsjsjsnd

Câu 17. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu mối quan hệ giữa vận tốc, gia tốc và thời gian trong cơ học. - Vận tốc \(v(t)\) là đạo hàm của li độ \(s(t)\) theo thời gian \(t\). - Gia tốc \(a(t)\) là đạo hàm của vận tốc \(v(t)\) theo thời gian \(t\). Do đó: \[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} \] Từ đây, ta có thể suy ra rằng: \[ v(t) = \int a(t) dt + C \] \[ s(t) = \int v(t) dt + C \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng phương án: a) \( \int a(t) dt = v(t) + C \) - Điều này đúng vì gia tốc là đạo hàm của vận tốc, do đó tích phân của gia tốc sẽ cho vận tốc. b) \( \int v(t) dt = a(t) + C \) - Điều này sai vì tích phân của vận tốc cho li độ, không phải gia tốc. c) \( \int v'(t) dt = a(t) + C \) - Điều này sai vì \(v'(t)\) là đạo hàm của \(v(t)\), tức là \(a(t)\). Tích phân của \(a(t)\) sẽ cho \(v(t)\), không phải \(a(t)\). d) \( \int v'(t) dt = v(t) + C \) - Điều này đúng vì \(v'(t)\) là đạo hàm của \(v(t)\), do đó tích phân của \(v'(t)\) sẽ cho \(v(t)\). Vậy, đáp án đúng là: a) \( \int a(t) dt = v(t) + C \) d) \( \int v'(t) dt = v(t) + C \) Tuy nhiên, trong bốn phương án đã cho, chỉ có phương án a) là đúng. Câu 18. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ về mối quan hệ giữa vận tốc, gia tốc và thời gian trong chuyển động của một vật. - Vận tốc \( v(t) \) là đạo hàm của li độ \( s(t) \) theo thời gian \( t \), tức là \( v(t) = \frac{ds}{dt} \). - Gia tốc \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc \( v(t) \) theo thời gian \( t \), tức là \( a(t) = \frac{dv}{dt} \). Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng phương án: a) \( \int^b_c a(t) \, dt = v(b) - v(c) \) Theo định lý cơ bản của Calculus, tích phân của đạo hàm của một hàm từ \( c \) đến \( b \) sẽ cho hiệu giữa giá trị của hàm tại \( b \) và giá trị của hàm tại \( c \). Vì gia tốc \( a(t) \) là đạo hàm của vận tốc \( v(t) \), nên: \[ \int^b_c a(t) \, dt = \int^b_c \frac{dv}{dt} \, dt = v(b) - v(c) \] Do đó, phương án a) đúng. b) \( \int^b_c v(t) \, dt = a(b) - a(c) \) Tích phân của vận tốc \( v(t) \) từ \( c \) đến \( b \) sẽ cho li độ \( s(b) - s(c) \), không phải là hiệu giữa gia tốc tại hai thời điểm. Do đó, phương án b) sai. c) \( \int^b_c v'(t) \, dt = v(c) - v(b) \) \( v'(t) \) là đạo hàm của \( v(t) \), tức là gia tốc \( a(t) \). Tích phân của gia tốc từ \( c \) đến \( b \) sẽ cho hiệu giữa vận tốc tại hai thời điểm, nhưng theo thứ tự ngược lại: \[ \int^b_c v'(t) \, dt = \int^b_c a(t) \, dt = v(b) - v(c) \] Phương án c) sai vì nó viết ngược lại. d) \( \int^b_c v'(t) \, dt = v(b) - v(c) \) Như đã phân tích ở trên, tích phân của đạo hàm của vận tốc từ \( c \) đến \( b \) sẽ cho hiệu giữa vận tốc tại hai thời điểm: \[ \int^b_c v'(t) \, dt = \int^b_c a(t) \, dt = v(b) - v(c) \] Phương án d) đúng. Kết luận: Phương án đúng là a) và d). Câu 19. Câu hỏi yêu cầu chúng ta xác định đúng mô tả về vật thể tròn xoay được tạo thành từ việc quay một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và các đường thẳng $x = a$, $x = b$ quanh trục Ox. Chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn để xác định câu trả lời chính xác. a) Vật thể được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ quay quanh trục Ox. - Đây là mô tả chung về quá trình tạo ra vật thể tròn xoay, nhưng chưa đủ chi tiết để xác định thể tích. b) Vật thể được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ quay quanh trục Ox. - Mô tả này cũng đúng, nhưng vẫn chưa cung cấp thông tin về cách tính thể tích. c) Thể tích của vật thể được tính theo công thức $V = \pi \int^b_a f(x) dx$. - Công thức này không đúng vì nó chỉ tính diện tích dưới đồ thị hàm số $y = f(x)$ từ $x = a$ đến $x = b$, chứ không phải thể tích của vật thể tròn xoay. d) Thể tích của vật thể được tính theo công thức $V = \pi \int^b_a [f(x)]^2 dx$. - Công thức này đúng. Khi một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ quay quanh trục Ox, thể tích của vật thể tròn xoay được tính theo công thức này. Do đó, câu trả lời đúng là: d) Thể tích của vật thể được tính theo công thức $V = \pi \int^b_a [f(x)]^2 dx$. Câu 20. Để tìm số lượng khách tham quan tại khu di tích sau mỗi giờ, ta cần tìm hàm số $Q(t)$ từ đạo hàm $Q'(t)$. Bước 1: Tích phân hàm số $Q'(t)$ để tìm $Q(t)$: \[ Q(t) = \int (4t^3 - 72t^2 + 288t) \, dt \] \[ Q(t) = t^4 - 24t^3 + 144t^2 + C \] Bước 2: Xác định hằng số $C$ bằng cách sử dụng thông tin ban đầu rằng sau 2 giờ đã có 500 người có mặt: \[ Q(2) = 500 \] \[ 2^4 - 24 \cdot 2^3 + 144 \cdot 2^2 + C = 500 \] \[ 16 - 192 + 576 + C = 500 \] \[ 392 + C = 500 \] \[ C = 108 \] Vậy hàm số $Q(t)$ là: \[ Q(t) = t^4 - 24t^3 + 144t^2 + 108 \] Bước 3: Kiểm tra lại hàm số $Q(t)$: \[ Q(2) = 2^4 - 24 \cdot 2^3 + 144 \cdot 2^2 + 108 \] \[ Q(2) = 16 - 192 + 576 + 108 \] \[ Q(2) = 500 \] Như vậy, hàm số $Q(t)$ đã đúng. Đáp số: Số lượng khách tham quan sau mỗi giờ là $Q(t) = t^4 - 24t^3 + 144t^2 + 108$.