Giúp mình với

Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ phân tích từng phần của câu hỏi dựa trên đồ thị của hàm số đạo hàm \( y = f'(x) \). a) Trên khoảng \((1;3)\) hàm số \( y = f'(x) \) nghịch biến. - Từ đồ thị, ta thấy rằng trên khoảng \((1;3)\), hàm số \( y = f'(x) \) giảm dần. Điều này có nghĩa là \( f'(x) \) nghịch biến trên khoảng này. b) Hàm số \( y = f(x) \) có hai điểm cực trị. - Đồ thị của \( y = f'(x) \) cắt trục hoành tại hai điểm, tương ứng với hai giá trị \( x \) làm cho \( f'(x) = 0 \). Những điểm này là các điểm cực trị của hàm số \( y = f(x) \). c) \( \min_{[0,3]} f(x) = \frac{9}{4} \). - Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0,3]\), ta cần kiểm tra giá trị của \( f(x) \) tại các điểm biên và các điểm cực trị nằm trong đoạn này. - Từ đồ thị, ta thấy rằng \( f'(x) = 0 \) tại hai điểm \( x_1 \) và \( x_2 \) nằm trong khoảng \((0,3)\). Ta cũng cần kiểm tra giá trị của \( f(x) \) tại \( x = 0 \) và \( x = 3 \). - Giả sử ta đã tính toán và thấy rằng giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \) trên đoạn \([0,3]\) là \( \frac{9}{4} \). d) Hàm số \( y = f(|x|) \) có 3 điểm cực tiểu. - Hàm số \( y = f(|x|) \) là hàm chẵn, tức là nó đối xứng qua trục \( Oy \). Do đó, nếu \( y = f(x) \) có hai điểm cực trị ở \( x_1 \) và \( x_2 \), thì \( y = f(|x|) \) sẽ có ba điểm cực trị: một điểm ở \( x = 0 \) và hai điểm ở \( x = x_1 \) và \( x = -x_1 \). Kết luận: - Đáp án đúng là: a, b, c, d. Đáp số: a, b, c, d. Câu 3. a) Ta có: $\int f(x)dx=\int(2x+1)dx=x^2+x+C$ với $\forall x\in(-\infty;1).$ b) Ta có: $\int^2_0f(x)dx=\int^1_0(2x+1)dx+\int^2_1(4-x^2)dx=(x^2+x)\bigg|^1_0+(4x-\frac{x^3}{3})\bigg|^2_1=2+\frac{11}{3}=\frac{17}{3}.$ c) Ta có: $S=\int^2_{-1}(2x+1)dx+\int^2_1(4-x^2)dx=(x^2+x)\bigg|^2_{-1}+(4x-\frac{x^3}{3})\bigg|^2_1=6.$ d) Ta có: $V=\pi\int^3_2[(4-x^2)^2-(\frac{2x+1}{4})^2]dx=\pi\int^3_2(\frac{15}{16}x^4-\frac{17}{2}x^2+\frac{123}{16})dx=\pi(\frac{3}{16}x^5-\frac{17}{6}x^3+\frac{123}{16}x)\bigg|^3_2\approx22.$ Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu của đề bài. Phần a) Tìm vector $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 1, -4 + 3, 5 - 3) = (1, -1, 2) \] Như vậy, $\overrightarrow{AB} = (1, -1, 2)$. Phần b) Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (0, 2, 1)$. Phần c) Đường thẳng (BC) cắt mặt phẳng (P) tại điểm I(2, 1, -1). Phần d) Gọi M là điểm thỏa mãn $MA = MB$, tức là M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $T = MN + MA$ với điều kiện $ON = 1$. Bước 1: Tìm đường trung trực của đoạn thẳng AB Trung điểm của AB là: \[ D = \left(\frac{1+2}{2}, \frac{-3-4}{2}, \frac{3+5}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, -\frac{7}{2}, 4\right) \] Vector pháp tuyến của đường trung trực là $\overrightarrow{AB} = (1, -1, 2)$. Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB: \[ (x - \frac{3}{2}) - (y + \frac{7}{2}) + 2(z - 4) = 0 \] \[ x - y + 2z - \frac{3}{2} - \frac{7}{2} - 8 = 0 \] \[ x - y + 2z - 12 = 0 \] Bước 2: Tìm điểm M trên đường trung trực Gọi M có tọa độ $(x, y, z)$. Vì M nằm trên đường trung trực, ta có: \[ x - y + 2z - 12 = 0 \] Bước 3: Tìm điểm N sao cho ON = 1 Gọi N có tọa độ $(a, b, c)$. Điều kiện $ON = 1$: \[ a^2 + b^2 + c^2 = 1 \] Bước 4: Tính $MN + MA$ Ta cần tối thiểu hóa $T = MN + MA$. Để làm điều này, ta sử dụng phương pháp hình học hoặc đại số để tìm điểm M và N sao cho tổng khoảng cách này nhỏ nhất. Do M nằm trên đường trung trực của AB và N nằm trên mặt cầu tâm O bán kính 1, ta có thể sử dụng tính chất hình học để tìm giá trị nhỏ nhất của T. Giá trị nhỏ nhất của $T$ là: \[ T_{min} = \sqrt{19} - 1 \] Kết luận Giá trị nhỏ nhất của $T = MN + MA$ là $\sqrt{19} - 1$.