cccvbhhhhhhdddđfuiiiiikkkbbbbberfggnn

Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một cách chi tiết. (a) \( BC \perp AH \) - Vì \( SA \perp (ABCD) \), nên \( SA \perp BC \). - Mặt khác, \( ABCD \) là hình vuông, do đó \( AB \perp BC \). - Kết hợp hai điều trên, ta có \( BC \perp (SAB) \). Do đó, \( BC \perp AH \). (b) Khoảng cách từ \( A \) đến mặt phẳng \( (SBC) \) bằng: \( \frac{a\sqrt{3}}{2} \) - Xét thể tích của chóp \( SABC \): \[ V_{SABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA = \frac{1}{3} \times \left( \frac{1}{2} \times a^2 \right) \times a\sqrt{3} = \frac{a^3\sqrt{3}}{6} \] - Diện tích đáy \( SBC \): \[ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times SB \times BC \] Trong đó: \[ SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = 2a \] Do đó: \[ S_{SBC} = \frac{1}{2} \times 2a \times a = a^2 \] - Khoảng cách từ \( A \) đến mặt phẳng \( (SBC) \) là \( d \): \[ V_{SABC} = \frac{1}{3} \times S_{SBC} \times d \] \[ \frac{a^3\sqrt{3}}{6} = \frac{1}{3} \times a^2 \times d \] \[ d = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] (c) Khoảng cách từ \( A \) đến mặt phẳng \( (SBD) \) bằng: \( \frac{a\sqrt{2}}{7} \) - Xét thể tích của chóp \( SABD \): \[ V_{SABD} = \frac{1}{3} \times S_{ABD} \times SA = \frac{1}{3} \times \left( \frac{1}{2} \times a^2 \right) \times a\sqrt{3} = \frac{a^3\sqrt{3}}{6} \] - Diện tích đáy \( SBD \): \[ S_{SBD} = \frac{1}{2} \times SD \times BD \] Trong đó: \[ SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = 2a \] \[ BD = a\sqrt{2} \] Do đó: \[ S_{SBD} = \frac{1}{2} \times 2a \times a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2} \] - Khoảng cách từ \( A \) đến mặt phẳng \( (SBD) \) là \( d \): \[ V_{SABD} = \frac{1}{3} \times S_{SBD} \times d \] \[ \frac{a^3\sqrt{3}}{6} = \frac{1}{3} \times a^2\sqrt{2} \times d \] \[ d = \frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{4} \neq \frac{a\sqrt{2}}{7} \] (d) Khoảng cách từ \( C \) đến mặt phẳng \( (AHK) \) bằng: \( \frac{a\sqrt{5}}{5} \) - Xét thể tích của chóp \( CAHK \): \[ V_{CAHK} = \frac{1}{3} \times S_{AHK} \times d \] - Diện tích đáy \( AHK \): \[ S_{AHK} = \frac{1}{2} \times AH \times HK \] - Khoảng cách từ \( C \) đến mặt phẳng \( (AHK) \) là \( d \): \[ V_{CAHK} = \frac{1}{3} \times S_{AHK} \times d \] Tuy nhiên, để tính chính xác diện tích \( S_{AHK} \) và khoảng cách \( d \), chúng ta cần thêm thông tin về các đoạn thẳng \( AH \) và \( HK \). Do đó, phát biểu này chưa đủ thông tin để chứng minh. Kết luận: - Phát biểu (a) đúng. - Phát biểu (b) đúng. - Phát biểu (c) sai. - Phát biểu (d) chưa đủ thông tin để chứng minh. Câu 3. Trước tiên, ta xác định vị trí của điểm H. Vì H là trung điểm của BC, nên ta có: \[ BH = HC = \frac{a}{2} \] Hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên mặt phẳng (ABC) là H, tức là đoạn thẳng \(A'H\) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Do đó, \(A'H\) là đường cao hạ từ \(A'\) xuống mặt phẳng (ABC). Bây giờ, ta tính độ dài đoạn thẳng \(A'H\): - Ta biết \(AA' = \frac{3a}{2}\) và \(A'H\) là hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên (ABC), do đó \(A'H\) là đường cao của tam giác \(AA'H\). Ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác để tìm \(A'H\): \[ S_{AA'H} = \frac{1}{2} \times AA' \times A'H \] Diện tích tam giác \(AA'H\) cũng có thể được tính bằng cách sử dụng công thức Heron hoặc trực tiếp từ độ dài các cạnh, nhưng ở đây ta sẽ sử dụng tính chất hình học đã biết. Do \(H\) là trung điểm của \(BC\), ta có: \[ AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] Vì \(A'H\) là đường cao hạ từ \(A'\) xuống \(AH\), ta có: \[ A'H = \sqrt{(AA')^2 - AH^2} = \sqrt{\left(\frac{3a}{2}\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4} - \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{\frac{6a^2}{4}} = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2} \] Vậy, độ dài đoạn thẳng \(A'H\) là: \[ A'H = \frac{a\sqrt{6}}{2} \] Đáp số: \( A'H = \frac{a\sqrt{6}}{2} \)