Giúp mik với

Bài 1 1. Rút gọn biểu thức $\frac{1}{2-\sqrt{3}}-2\sqrt{12}+\sqrt{37-20\sqrt{3}}.$ Đầu tiên, ta thực hiện các phép biến đổi để rút gọn từng thành phần của biểu thức. - Ta có: \[ \frac{1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1}{2-\sqrt{3}} \cdot \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = 2+\sqrt{3} \] - Tiếp theo, ta có: \[ 2\sqrt{12} = 2 \cdot \sqrt{4 \cdot 3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \] - Cuối cùng, ta có: \[ \sqrt{37-20\sqrt{3}} \] Ta nhận thấy rằng $37-20\sqrt{3}$ có thể viết dưới dạng $(a-b)^2$, cụ thể là: \[ 37-20\sqrt{3} = (5-2\sqrt{3})^2 \] Do đó: \[ \sqrt{37-20\sqrt{3}} = 5-2\sqrt{3} \] Bây giờ, ta kết hợp tất cả các thành phần lại: \[ \frac{1}{2-\sqrt{3}}-2\sqrt{12}+\sqrt{37-20\sqrt{3}} = (2+\sqrt{3}) - 4\sqrt{3} + (5-2\sqrt{3}) \] \[ = 2 + \sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 5 - 2\sqrt{3} \] \[ = 7 - 5\sqrt{3} \] Vậy, biểu thức đã rút gọn là: \[ 7 - 5\sqrt{3} \] 2. Chứng minh rằng $(\frac{x-2}{x+2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+2})\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$ với $x>0; x \neq 1.$ Đầu tiên, ta xét biểu thức bên trái: \[ \left( \frac{x-2}{x+2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}+2} \right) \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \] Ta sẽ biến đổi từng thành phần: - Ta có: \[ \frac{x-2}{x+2\sqrt{x}} = \frac{x-2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)} \] - Tiếp theo, ta có: \[ \frac{1}{\sqrt{x}+2} \] Bây giờ, ta cộng hai phân số này lại: \[ \frac{x-2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)} + \frac{1}{\sqrt{x}+2} = \frac{x-2 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)} \] Tiếp tục nhân với $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}$: \[ \left( \frac{x-2 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)} \right) \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} \] Ta nhận thấy rằng: \[ \frac{x-2 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)} \cdot \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} = \frac{(x-2 + \sqrt{x})(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)} \] Ta sẽ chứng minh rằng: \[ (x-2 + \sqrt{x})(\sqrt{x}+1) = (\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+2) \] Thực hiện phép nhân: \[ (x-2 + \sqrt{x})(\sqrt{x}+1) = x\sqrt{x} + x - 2\sqrt{x} - 2 + \sqrt{x} + 1 = x\sqrt{x} + x - \sqrt{x} - 1 \] \[ (\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+2) = x + 2\sqrt{x} + \sqrt{x} + 2 = x + 3\sqrt{x} + 2 \] Do đó, ta có: \[ \frac{x\sqrt{x} + x - \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)} = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} \] Vậy, biểu thức đã được chứng minh đúng. Bài 2 1. Để tìm quãng đường chuyển động của người sau 4 giây, ta thay $t = 4$ vào công thức $S = \frac{13}{2} t^2$: \[ S = \frac{13}{2} \times 4^2 = \frac{13}{2} \times 16 = 13 \times 8 = 104 \text{ mét} \] Vậy sau khoảng thời gian 4 giây, du khách cách mặt đất: \[ 234 - 104 = 130 \text{ mét} \] 2. Ta có phương trình $\sqrt{2} x^2 + 2x + 3 = 0$. Để tính giá trị của biểu thức $A = \frac{x_1 + 1}{1 - x_1} + \frac{x_2 + 1}{1 - x_2}$, ta sử dụng tính chất của phương trình bậc hai. Theo định lý Vi-et, ta có: \[ x_1 + x_2 = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} \] \[ x_1 x_2 = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \] Ta biến đổi biểu thức $A$: \[ A = \frac{x_1 + 1}{1 - x_1} + \frac{x_2 + 1}{1 - x_2} \] Tìm chung mẫu số: \[ A = \frac{(x_1 + 1)(1 - x_2) + (x_2 + 1)(1 - x_1)}{(1 - x_1)(1 - x_2)} \] Mở ngoặc tử số: \[ A = \frac{x_1 - x_1 x_2 + 1 - x_2 + x_2 - x_1 x_2 + 1 - x_1}{(1 - x_1)(1 - x_2)} \] Gộp các hạng tử: \[ A = \frac{2 - 2x_1 x_2}{(1 - x_1)(1 - x_2)} \] Thay giá trị $x_1 x_2 = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ vào: \[ A = \frac{2 - 2 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}}{(1 - x_1)(1 - x_2)} = \frac{2 - 3\sqrt{2}}{(1 - x_1)(1 - x_2)} \] Biến đổi mẫu số: \[ (1 - x_1)(1 - x_2) = 1 - (x_1 + x_2) + x_1 x_2 = 1 - (-\sqrt{2}) + \frac{3\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} = 1 + \frac{5\sqrt{2}}{2} \] Vậy: \[ A = \frac{2 - 3\sqrt{2}}{1 + \frac{5\sqrt{2}}{2}} \] Để đơn giản hóa biểu thức này, ta nhân cả tử và mẫu với 2: \[ A = \frac{2(2 - 3\sqrt{2})}{2(1 + \frac{5\sqrt{2}}{2})} = \frac{4 - 6\sqrt{2}}{2 + 5\sqrt{2}} \] Nhân cả tử và mẫu với $2 - 5\sqrt{2}$ để có mẫu số hữu tỉ: \[ A = \frac{(4 - 6\sqrt{2})(2 - 5\sqrt{2})}{(2 + 5\sqrt{2})(2 - 5\sqrt{2})} \] Mở ngoặc tử số: \[ A = \frac{8 - 20\sqrt{2} - 12\sqrt{2} + 60}{4 - 50} = \frac{68 - 32\sqrt{2}}{-46} = \frac{-34 + 16\sqrt{2}}{23} \] Vậy giá trị của biểu thức $A$ là: \[ A = \frac{-34 + 16\sqrt{2}}{23} \] Bài 3 Gọi số ml dung dịch HCl nồng độ 8% là x (ml, điều kiện: x > 0) Số ml dung dịch HCl nồng độ 20% là: 36 - x (ml) Số gam chất tan trong x ml dung dịch HCl nồng độ 8% là: $\frac{8x}{100}$ (gam) Số gam chất tan trong 36 - x ml dung dịch HCl nồng độ 20% là: $\frac{20(36-x)}{100}$ (gam) Số gam chất tan trong 36 ml dung dịch HCl nồng độ 12% là: $\frac{12 \times 36}{100} = \frac{216}{25}$ (gam) Ta có phương trình: $\frac{8x}{100} + \frac{20(36-x)}{100} = \frac{216}{25}$ $\frac{8x + 720 - 20x}{100} = \frac{216}{25}$ $\frac{-12x + 720}{100} = \frac{216}{25}$ -12x + 720 = 864 -12x = 144 x = -12 Vậy số ml dung dịch HCl nồng độ 8% là 12 ml Số ml dung dịch HCl nồng độ 20% là: 36 - 12 = 24 (ml) Đáp số: 12 ml dung dịch HCl nồng độ 8%, 24 ml dung dịch HCl nồng độ 20% Bài 4 Đầu tiên, chúng ta cần xác định bán kính đáy của thùng nước hình trụ. Biết rằng chiều cao của thùng là 60 cm và bề rộng của tấm nhôm là 200 cm, ta có thể suy ra chu vi của đáy thùng nước là 200 cm. Chu vi của một hình tròn được tính bằng công thức: \[ C = 2 \pi R \] Vậy ta có: \[ 200 = 2 \pi R \] \[ R = \frac{200}{2 \pi} \] \[ R = \frac{100}{\pi} \] Bây giờ, ta sẽ tính thể tích của thùng nước hình trụ theo công thức: \[ V = \pi R^2 h \] Thay các giá trị vào công thức: \[ V = \pi \left( \frac{100}{\pi} \right)^2 \times 60 \] \[ V = \pi \times \frac{10000}{\pi^2} \times 60 \] \[ V = \frac{10000}{\pi} \times 60 \] \[ V = \frac{600000}{\pi} \] Lấy giá trị của $\pi$ là 3.14: \[ V \approx \frac{600000}{3.14} \] \[ V \approx 190445.86 \text{ cm}^3 \] Chuyển đổi từ cm³ sang dm³ (1 dm³ = 1000 cm³): \[ V \approx \frac{190445.86}{1000} \] \[ V \approx 190.44586 \text{ dm}^3 \] Vì 1 dm³ = 1 lít, nên thể tích của thùng nước là: \[ V \approx 190.44586 \text{ lít} \] Làm tròn đến hàng đơn vị: \[ V \approx 190 \text{ lít} \] Vậy thùng nước có thể chứa đầy khoảng 190 lít nước. Bài 5 a) Ta có: $\widehat{BMC}=\widehat{BNC}=90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow$ CM, BN là các đường cao của $\Delta ABC$ hạ từ C và B. $\Rightarrow$ H là trực tâm của $\Delta ABC.$ Ta có: $\widehat{BAM}=\widehat{CAN}$ (cùng bù với $\widehat{BAC})$ Mà $\widehat{AMB}=\widehat{ANC}=90^{\circ}$ $\Rightarrow \Delta AMB=\Delta ANC$ (góc - cạnh - góc) $\Rightarrow AM=AN$ (hai cạnh tương ứng) $\Rightarrow \Delta AMN$ cân tại A. Lại có: $\widehat{MHN}=\widehat{MHC}+\widehat{NHB}=90^{\circ}+\widehat{NHB}=90^{\circ}+\widehat{BAC}$ $\widehat{MAN}=180^{\circ}-\widehat{AMN}-\widehat{ANM}=180^{\circ}-2\widehat{AMN}=180^{\circ}-2(90^{\circ}-\widehat{BAC})=2\widehat{BAC}$ $\Rightarrow \widehat{MHN}=2\widehat{MAN}$ $\Rightarrow$ AH là tia phân giác của $\widehat{MHN}$ b) Ta có: $\widehat{IDJ}=\widehat{MND}$ (hai góc so le trong) $\widehat{MND}=\widehat{MDN}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MN) $\Rightarrow \widehat{IDJ}=\widehat{MDN}$ $\Rightarrow \Delta DIJ$ cân tại D $\Rightarrow DJ=DI$