Trong mặt phẳng tọa độ, tìm phương trình đường tròn đi qua $A(1; 2)$, $B(3; 4)$ và tiếp xúc trục hoành.

Question

Accepted Answer

Để tìm phương trình đường tròn đi qua hai điểm $A(1; 2)$, $B(3; 4)$ và tiếp xúc với trục hoành, ta thực hiện các bước sau:

1. Phương trình tổng quát của đường tròn:

Phương trình tổng quát của đường tròn có dạng:
   $$
   (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2
   $$
   Trong đó $(a, b)$ là tâm của đường tròn và $R$ là bán kính.

2. Điều kiện tiếp xúc trục hoành:

Đường tròn tiếp xúc với trục hoành có nghĩa là khoảng cách từ tâm đường tròn đến trục hoành bằng bán kính $R$. Do đó, $b = R$.

3. Điều kiện đi qua điểm $A(1; 2)$:

Thay tọa độ điểm $A$ vào phương trình đường tròn:
   $$
   (1 - a)^2 + (2 - b)^2 = R^2
   $$

4. Điều kiện đi qua điểm $B(3; 4)$:

Thay tọa độ điểm $B$ vào phương trình đường tròn:
   $$
   (3 - a)^2 + (4 - b)^2 = R^2
   $$

5. Giải hệ phương trình:

Từ điều kiện tiếp xúc trục hoành, ta có $b = R$. Thay $b = R$ vào hai phương trình trên, ta có:
   $$
   (1 - a)^2 + (2 - R)^2 = R^2
   $$
   $$
   (3 - a)^2 + (4 - R)^2 = R^2
   $$

Giải hệ phương trình này để tìm $a$ và $R$.

6. Giải phương trình:

Từ phương trình thứ nhất:
   $$
   (1 - a)^2 + (2 - R)^2 = R^2
   $$
   $$
   (1 - a)^2 + 4 - 4R + R^2 = R^2
   $$
   $$
   (1 - a)^2 = 4R - 4
   $$

Từ phương trình thứ hai:
   $$
   (3 - a)^2 + (4 - R)^2 = R^2
   $$
   $$
   (3 - a)^2 + 16 - 8R + R^2 = R^2
   $$
   $$
   (3 - a)^2 = 8R - 16
   $$

Giải hệ phương trình:
   $$
   (1 - a)^2 = 4R - 4
   $$
   $$
   (3 - a)^2 = 8R - 16
   $$

Đặt $u = 1 - a$, $v = 3 - a$, ta có:
   $$
   u^2 = 4R - 4
   $$
   $$
   v^2 = 8R - 16
   $$

Từ $v = u + 2$, ta có:
   $$
   (u + 2)^2 = 8R - 16
   $$
   $$
   u^2 + 4u + 4 = 8R - 16
   $$

Thay $u^2 = 4R - 4$ vào:
   $$
   4R - 4 + 4u + 4 = 8R - 16
   $$
   $$
   4u = 4R - 16
   $$
   $$
   u = R - 4
   $$

Thay $u = R - 4$ vào $u^2 = 4R - 4$:
   $$
   (R - 4)^2 = 4R - 4
   $$
   $$
   R^2 - 8R + 16 = 4R - 4
   $$
   $$
   R^2 - 12R + 20 = 0
   $$

Giải phương trình bậc hai:
   $$
   R = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{12 \pm 8}{2}
   $$

Ta có hai nghiệm:
   $$
   R = 10 \quad \text{hoặc} \quad R = 2
   $$

Với $R = 10$, $b = 10$, $u = 6$, $a = 1 - u = -5$.

Với $R = 2$, $b = 2$, $u = -2$, $a = 3$.

7. Kết luận:

Phương trình đường tròn có thể là:
   $$
   (x + 5)^2 + (y - 10)^2 = 100
   $$
   hoặc
   $$
   (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 4
   $$

Cả hai phương trình đều thỏa mãn điều kiện bài toán.

Trong mặt phẳng tọa độ, tìm phương trình đường tròn đi qua , và tiếp xúc trục hoành.