Bài 23. Cho tam giác $$ vuông ở A . Dựng ở miền ngoài tam giác ABC các hình vuông ABHK , ACDE. 1. Chứng minh ba điểm $$ thẳng hàng. 2. Đường thẳng HD cắt đường tr...

Bài 23. 1. Chứng minh ba điểm H, A, D thẳng hàng: - Ta thấy góc HAB = 90° (vì ABKH là hình vuông) - Góc BAC = 90° (vì tam giác ABC vuông ở A) - Vậy góc HAD = góc HAB + góc BAC = 90° + 90° = 180° - Do đó, ba điểm H, A, D thẳng hàng. 2. Chứng minh FBC là tam giác vuông cân: - Ta thấy góc BFC = góc BAC = 90° (góc nội tiếp cùng chắn cung BC) - Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có OB = OC (bán kính) - Góc OBF = góc OCF (góc nội tiếp cùng chắn cung OF) - Vậy tam giác OBF = tam giác OCF (cạnh kề và hai góc kề bằng nhau) - Suy ra BF = CF - Vậy tam giác FBC là tam giác vuông cân tại F. 3. Chứng minh 5 điểm B, K, E, M, C cùng nằm trên một đường tròn: - Ta thấy góc KBE = 90° (vì ABKH là hình vuông) - Góc KCE = 90° (vì ACDE là hình vuông) - Góc KME = 180° - góc KMC (góc bẹt) - Ta có góc KMC = góc KBC + góc ECB (góc ngoài tam giác) - Vì góc KBC = 90° - góc ABC và góc ECB = 90° - góc ACB - Mà góc ABC + góc ACB = 90° (góc vuông ở A) - Nên góc KMC = 90° - góc ABC + 90° - góc ACB = 180° - 90° = 90° - Vậy góc KME = 180° - 90° = 90° - Do đó, 5 điểm B, K, E, M, C cùng nằm trên một đường tròn. 4. Chứng minh MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: - Ta thấy góc BMC = góc BEC (góc nội tiếp cùng chắn cung BC) - Góc BEC = 90° (vì ACDE là hình vuông) - Vậy góc BMC = 90° - Do đó, MC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.