Bài 23. Cho tam giác $A B C$ vuông ở A . Dựng ở miền ngoài tam giác ABC các hình vuông ABHK , ACDE. 1. Chứng minh ba điểm $\mathrm{H}, \mathrm{A}, \mathrm{D}$ thẳng hàng. 2. Đường thẳng HD cắt đường tr...

Bài 23:

1. Theo giả thiết ABHK là hình vuông $\Rightarrow>\angle \mathrm{BAH}=45^{\circ}$

Tứ giác AEDC là hình vuông $\Rightarrow \angle \mathrm{CAD}=45^{\circ}$; tam giác ABC vuông ở $\mathrm{A} \Rightarrow \angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}$ $\Rightarrow \angle \mathrm{BAH}+\angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{CAD}=45^{\circ}+90^{\circ}+45^{\circ}=180^{\circ} \Rightarrow>$ ba điểm $\mathrm{H}, \mathrm{A}, \mathrm{D}$ thẳng hàng.
2. Ta có $\angle \mathrm{BFC}=90^{\circ}$ (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) nên tam giác BFC vuông tại F . (1). $\angle \mathrm{FBC}=\angle \mathrm{FAC}$ ( nội tiếp cùng chắn cung FC ) mà theo trên $\angle \mathrm{CAD}=45^{\circ}$ hay $\angle \mathrm{FAC}=45^{\circ}$ (2). Từ (1) và (2) suy ra $\triangle \mathrm{FBC}$ là tam giác vuông cân tại F .
3. Theo trên $\angle \mathrm{BFC}=90^{\circ} \Rightarrow \angle \mathrm{CFM}=90^{\circ}$ (vì là hai góc kề bù); $\angle \mathrm{CDM}=90^{\circ}$ (t/c hình vuông). $\Rightarrow \angle \mathrm{CFM}+\angle \mathrm{CDM}=180^{\circ}$ mà đây là hai góc đối nên tứ giác CDMF nội tiếp một đường tròn suy ra $\angle \mathrm{CDF}=\angle \mathrm{CMF}$, mà $\angle \mathrm{CDF}=45^{\circ}$ (vì AEDC là hình vuông) $\Rightarrow \angle \mathrm{CMF}=45^{\circ}$ hay $\angle \mathrm{CMB}=45^{\circ}$.
Ta cũng có $\angle \mathrm{CEB}=45^{\circ}$ (vì AEDC là hình vuông); $\angle \mathrm{BKC}=45^{\circ}$ (vì ABHK là hình vuông).
Như vậy $\mathrm{K}, \mathrm{E}, \mathrm{M}$ cùng nhìn BC dưới một góc bằng $45^{\circ}$ nên cùng nằm trên cung chứa góc $45^{\circ}$ dựng trên $\mathrm{BC}=>5$ điểm $\mathrm{B}, \mathrm{K}, \mathrm{E}, \mathrm{M}, \mathrm{C}$ cùng nằm trên một đường tròn.
4. $\Delta \mathrm{CBM}$ có $\angle \mathrm{B}=45^{\circ} ; \angle \mathrm{M}=45^{\circ} \Rightarrow \angle \mathrm{BCM}=45^{\circ}$ hay $\mathrm{MC} \perp \mathrm{BC}$ tại $\mathrm{C} \Rightarrow \mathrm{MC}$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .