tính thể tích của khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b

Question

Accepted Answer

Để tính thể tích của khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng $b$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm chiều cao của khối chóp:
   - Khối chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông với cạnh $a$. Tâm của đáy là trung điểm của đường chéo của hình vuông.
   - Chiều dài đường chéo của đáy là $a\sqrt{2}$.
   - Khoảng cách từ tâm đáy đến một đỉnh của đáy là $\frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.

2. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông:
   - Tam giác này có một cạnh là khoảng cách từ tâm đáy đến một đỉnh của đáy ($\frac{a}{\sqrt{2}}$), một cạnh là chiều cao của khối chóp (h), và cạnh còn lại là cạnh bên của khối chóp (b).
   - Theo định lý Pythagoras:
     $$
     b^2 = h^2 + \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2
     $$
     $$
     b^2 = h^2 + \frac{a^2}{2}
     $$
     $$
     h^2 = b^2 - \frac{a^2}{2}
     $$
     $$
     h = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{2}}
     $$

3. Tính diện tích đáy của khối chóp:
   - Diện tích đáy là diện tích của hình vuông có cạnh $a$:
     $$
     S_{đáy} = a^2
     $$

4. Tính thể tích của khối chóp:
   - Thể tích $V$ của khối chóp được tính bằng công thức:
     $$
     V = \frac{1}{3} \times S_{đáy} \times h
     $$
     $$
     V = \frac{1}{3} \times a^2 \times \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{2}}
     $$

Vậy thể tích của khối chóp tứ giác đều là:
$$
V = \frac{1}{3} a^2 \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{2}}
$$