giải chi tiết ạ $T=\log_ab^2+\log_{a^2}b^6.$ Mệnh đề nào dưới,đây đúng?,$A.~P=9\log_ab.$ $B.~P=27\log_ab.$ $C.~P=15\log_ab$ $D.~P=6\log_ab$,Câu 15: Cho a là số thực dương khác 2. Tính $\begin{array}{ll}I=\log_{\frac a2}(\frac{a^2}4)&=\log_{\frac a2}a^2-\log_{\frac a2}4=\log_2aa^2-\log_{\frac22}4\&\frac2{-a}\log\end{array}$,$A.~I=\frac12$ $B.~I=2$ $C.~I=-\frac12$ $D.~I=-2$,Câu 16: Xét tất cả các số thực dương a và b thỏa mãn $\log_2a=\log_8(ab).$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?,$A.~a=b^2.$ $B.~a^3=b.$ $C.~a=b.$ $D.~a^2=b.$,Câu 17: Cho $\log_3a=2$ và $\log_2b=\frac12.$ Tính $I=2\log_3[\log_3(3a)]+\log_{\frac14}b^2.$,$A.~I=\frac54$ $B.~I=4$ $C.~I=0$ $D.~I=\frac32.$,Câu 18: Biết $\log_23=a,\log_25=b$ thì $\log_2120$ tính theo a và b bằng:,$A.~a+b+4.$ $B.~a+b+3.$ $C.~a+2b+3.$ $D.~a+b+2.$,Câu 19: Cho $\log_ab=2$ và $\log_ac=5.$ Giá trị của $P=\log_a(\frac{a\sqrt b}{\sqrt[3]c})$ là,$A.~P=\frac13.$ $B.~P=-\frac53.$ $C.~P=\frac53.$ $D.~P=\frac23.$,Câu 20: Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn $a
e1,~a
e\sqrt b$ và $\log_ab=\sqrt3.$ Tính $P=\log_{\frac{\sqrt b}a}\sqrt{\frac ba}.$,$A.~P=-5+3\sqrt3.$ $B.~P=-1+\sqrt3.$ $C.~P=-1-\sqrt3.$ $D.~P=-5-3\sqrt3.$,Page 2

Question

Accepted Answer

Câu 15:
Để tính $\log_{\frac{a}{2}}\left(\frac{a^2}{4}\right)$, ta làm như sau:

Bước 1: Xác định điều kiện của a:
- a là số thực dương khác 2, tức là $a > 0$ và $a \neq 2$.

Bước 2: Áp dụng công thức tính logarit:
$$
\log_{\frac{a}{2}}\left(\frac{a^2}{4}\right)
$$

Bước 3: Chuyển đổi biểu thức trong logarit:
$$
\frac{a^2}{4} = \left(\frac{a}{2}\right)^2
$$

Bước 4: Thay vào biểu thức logarit:
$$
\log_{\frac{a}{2}}\left(\left(\frac{a}{2}\right)^2\right)
$$

Bước 5: Áp dụng tính chất logarit $\log_b(b^x) = x$:
$$
\log_{\frac{a}{2}}\left(\left(\frac{a}{2}\right)^2\right) = 2
$$

Vậy đáp án đúng là:
B. $I = 2$

Đáp số: B. $I = 2$

Câu 16:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit để biến đổi phương trình đã cho.

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- Vì $a$ và $b$ là các số thực dương, nên $a > 0$ và $b > 0$.

Bước 2: Biến đổi phương trình logarit
Phương trình ban đầu là:
$$ \log_2 a = \log_8 (ab) $$

Ta biết rằng $\log_8 (ab)$ có thể viết lại thành $\log_{2^3} (ab)$. Theo tính chất của logarit, ta có:
$$ \log_{2^3} (ab) = \frac{\log_2 (ab)}{\log_2 (2^3)} = \frac{\log_2 (ab)}{3} $$

Do đó, phương trình trở thành:
$$ \log_2 a = \frac{\log_2 (ab)}{3} $$

Bước 3: Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ mẫu số:
$$ 3 \log_2 a = \log_2 (ab) $$

Bước 4: Áp dụng tính chất logarit $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$:
$$ 3 \log_2 a = \log_2 a + \log_2 b $$

Bước 5: Chuyển $\log_2 a$ từ vế phải sang vế trái:
$$ 3 \log_2 a - \log_2 a = \log_2 b $$
$$ 2 \log_2 a = \log_2 b $$

Bước 6: Áp dụng tính chất logarit $k \log_b x = \log_b (x^k)$:
$$ \log_2 (a^2) = \log_2 b $$

Bước 7: Vì hai logarit có cùng cơ số và bằng nhau, nên các đối số cũng phải bằng nhau:
$$ a^2 = b $$

Vậy mệnh đề đúng là:
D. $a^2 = b$

Đáp án: D. $a^2 = b$

Câu 17:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm giá trị của $a$ và $b$ dựa trên các giá trị đã cho.
2. Thay giá trị của $a$ và $b$ vào biểu thức $I$.
3. Tính giá trị của biểu thức $I$.

Bước 1: Tìm giá trị của $a$ và $b$

Ta có:
$$ \log_3 a = 2 $$
$$ a = 3^2 = 9 $$

Ta cũng có:
$$ \log_2 b = \frac{1}{2} $$
$$ b = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} $$

Bước 2: Thay giá trị của $a$ và $b$ vào biểu thức $I$

Biểu thức $I$ là:
$$ I = 2 \log_3 [\log_3 (3a)] + \log_{\frac{1}{4}} b^2 $$

Thay $a = 9$ vào:
$$ 3a = 3 \times 9 = 27 $$
$$ \log_3 (3a) = \log_3 27 = \log_3 (3^3) = 3 $$

Do đó:
$$ \log_3 [\log_3 (3a)] = \log_3 3 = 1 $$

Vậy:
$$ 2 \log_3 [\log_3 (3a)] = 2 \times 1 = 2 $$

Tiếp theo, thay $b = \sqrt{2}$ vào:
$$ b^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 $$

Do đó:
$$ \log_{\frac{1}{4}} b^2 = \log_{\frac{1}{4}} 2 $$

Chúng ta biết rằng:
$$ \log_{\frac{1}{4}} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 \frac{1}{4}} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2} $$

Bước 3: Tính giá trị của biểu thức $I$

$$ I = 2 + (-\frac{1}{2}) = 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} $$

Vậy giá trị của biểu thức $I$ là:
$$ I = \frac{3}{2} $$

Đáp án đúng là: D. $I = \frac{3}{2}$.

Câu 18:
Để tính $\log_2 120$ theo $a$ và $b$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Ta viết số 120 dưới dạng tích của các thừa số cơ bản:
$$ 120 = 3 \times 4 \times 10 $$

Bước 2: Ta tiếp tục phân tích các thừa số này thành các lũy thừa cơ bản:
$$ 120 = 3 \times 4 \times 10 = 3 \times 2^2 \times (2 \times 5) = 3 \times 2^3 \times 5 $$

Bước 3: Áp dụng tính chất của logarit để tách biểu thức:
$$ \log_2 120 = \log_2 (3 \times 2^3 \times 5) $$
$$ \log_2 120 = \log_2 3 + \log_2 2^3 + \log_2 5 $$

Bước 4: Ta biết rằng $\log_2 2^3 = 3$ vì $\log_2 2^3 = 3 \log_2 2 = 3 \times 1 = 3$. Do đó:
$$ \log_2 120 = \log_2 3 + 3 + \log_2 5 $$

Bước 5: Thay $\log_2 3 = a$ và $\log_2 5 = b$ vào biểu thức trên:
$$ \log_2 120 = a + 3 + b $$

Vậy, $\log_2 120$ tính theo $a$ và $b$ là:
$$ \log_2 120 = a + b + 3 $$

Do đó, đáp án đúng là:
$$ \boxed{B.~a + b + 3} $$

Câu 19:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit để biến đổi biểu thức $ P = \log_a \left( \frac{a \sqrt{b}}{\sqrt[3]{c}} \right) $.

Bước 1: Áp dụng tính chất logarit của thương và tích:
$$ 
P = \log_a \left( \frac{a \sqrt{b}}{\sqrt[3]{c}} \right) = \log_a (a \sqrt{b}) - \log_a (\sqrt[3]{c})
$$

Bước 2: Áp dụng tính chất logarit của tích:
$$ 
\log_a (a \sqrt{b}) = \log_a a + \log_a \sqrt{b}
$$
$$ 
\log_a a = 1 \quad \text{(vì logarit cơ sở a của a là 1)}
$$
$$ 
\log_a \sqrt{b} = \log_a (b^{1/2}) = \frac{1}{2} \log_a b
$$

Bước 3: Biến đổi phần còn lại:
$$ 
\log_a (\sqrt[3]{c}) = \log_a (c^{1/3}) = \frac{1}{3} \log_a c
$$

Bước 4: Thay các giá trị đã biết vào:
$$ 
\log_a b = 2 \quad \text{và} \quad \log_a c = 5
$$

Bước 5: Kết hợp tất cả các thành phần lại:
$$ 
P = 1 + \frac{1}{2} \log_a b - \frac{1}{3} \log_a c
$$
$$ 
P = 1 + \frac{1}{2} \cdot 2 - \frac{1}{3} \cdot 5
$$
$$ 
P = 1 + 1 - \frac{5}{3}
$$
$$ 
P = 2 - \frac{5}{3}
$$
$$ 
P = \frac{6}{3} - \frac{5}{3}
$$
$$ 
P = \frac{1}{3}
$$

Vậy giá trị của $ P $ là $ \frac{1}{3} $. Đáp án đúng là:
A. $ P = \frac{1}{3} $.

Câu 20:
Để tính giá trị của biểu thức $ P = \log_{\frac{\sqrt{b}}{a}} \sqrt{\frac{b}{a}} $, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện:
- $ a > 0 $ và $ a \neq 1 $
- $ b > 0 $
- $ a \neq \sqrt{b} $

Bước 2: Áp dụng công thức đổi cơ số:
$$ \log_{\frac{\sqrt{b}}{a}} \sqrt{\frac{b}{a}} = \frac{\log_a \sqrt{\frac{b}{a}}}{\log_a \frac{\sqrt{b}}{a}} $$

Bước 3: Tính từng phần tử trong biểu thức:
- $ \log_a \sqrt{\frac{b}{a}} = \log_a \left( \frac{b}{a} \right)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_a \frac{b}{a} = \frac{1}{2} (\log_a b - \log_a a) = \frac{1}{2} (\log_a b - 1) $
- $ \log_a \frac{\sqrt{b}}{a} = \log_a \left( \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a} \right) = \log_a b^{\frac{1}{2}} - \log_a a = \frac{1}{2} \log_a b - 1 $

Bước 4: Thay vào biểu thức ban đầu:
$$ P = \frac{\frac{1}{2} (\log_a b - 1)}{\frac{1}{2} \log_a b - 1} $$

Bước 5: Biến đổi biểu thức:
$$ P = \frac{\log_a b - 1}{\log_a b - 2} $$

Bước 6: Thay giá trị $ \log_a b = \sqrt{3} $:
$$ P = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 2} $$

Bước 7: Racionalize mẫu số:
$$ P = \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 2)}{(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} - \sqrt{3} - 2}{3 - 4} = \frac{1 + \sqrt{3}}{-1} = -1 - \sqrt{3} $$

Vậy đáp án đúng là:
C. $ P = -1 - \sqrt{3} $