Cho tam giác ABC với trọng tâm G , trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O . Chứng minh rằng $\overrightarrow{G H}=-2 \overrightarrow{G O}$ ( như vậy khi ba điểm $\mathrm{G}, \mathrm{H}, \mathrm{O}$...

Trước tiên, ta cần biết rằng trong tam giác ABC, trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O có mối liên hệ đặc biệt. Cụ thể, ta sẽ chứng minh rằng $\overrightarrow{GH} = -2\overrightarrow{GO}$. Bước 1: Xác định các điểm và vectơ liên quan - Trọng tâm G của tam giác ABC là giao điểm của các đường trung tuyến. - Trực tâm H của tam giác ABC là giao điểm của các đường cao. - Tâm đường tròn ngoại tiếp O là giao điểm của các đường trung trực cạnh tam giác. Bước 2: Sử dụng tính chất của trọng tâm Trọng tâm G chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, tức là G nằm ở khoảng cách $\frac{2}{3}$ từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Bước 3: Sử dụng tính chất của trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp Trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O có mối liên hệ đặc biệt qua trọng tâm G. Cụ thể, ta có: \[ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) \] \[ \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} \] Bước 4: Tính vectơ GH Ta có: \[ \overrightarrow{GH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OG} \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \overrightarrow{GH} = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) - \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) \] \[ \overrightarrow{GH} = \left(1 - \frac{1}{3}\right)(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) \] \[ \overrightarrow{GH} = \frac{2}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) \] Bước 5: Tính vectơ GO \[ \overrightarrow{GO} = -\overrightarrow{OG} \] \[ \overrightarrow{GO} = -\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) \] Bước 6: So sánh vectơ GH và vectơ GO \[ \overrightarrow{GH} = \frac{2}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) \] \[ \overrightarrow{GO} = -\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) \] Nhận thấy rằng: \[ \overrightarrow{GH} = -2 \overrightarrow{GO} \] Vậy ta đã chứng minh được $\overrightarrow{GH} = -2 \overrightarrow{GO}$, điều này cho thấy ba điểm G, H, O cùng nằm trên một đường thẳng, được gọi là đường thẳng Euler. Đáp số: $\overrightarrow{GH} = -2 \overrightarrow{GO}$