Câu 5.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định phương trình của parabol.
2. Tìm tọa độ của điểm trên parabol ở vị trí chính giữa cổng.
3. Tính chiều cao của xe tải.
Bước 1: Xác định phương trình của parabol
Ta giả sử đỉnh của parabol nằm tại gốc tọa độ (0, 0). Chiều rộng của cổng là 10m, do đó hai điểm cuối của cổng nằm tại (-5, 0) và (5, 0). Chiều cao của cổng là 6m, do đó điểm đỉnh của parabol nằm tại (0, 6). Phương trình của parabol có dạng y = ax^2 + bx + c. Vì đỉnh của parabol nằm tại (0, 6), nên c = 6. Phương trình trở thành y = ax^2 + 6.
Để xác định giá trị của a, ta sử dụng điểm (-5, 0) hoặc (5, 0). Ta có:
0 = a(-5)^2 + 6
0 = 25a + 6
25a = -6
a = -\frac{6}{25}
Vậy phương trình của parabol là:
y = -\frac{6}{25}x^2 + 6
Bước 2: Tìm tọa độ của điểm trên parabol ở vị trí chính giữa cổng
Chiều ngang của xe tải là 5m, do đó vị trí chính giữa cổng là x = 0. Ta thay x = 0 vào phương trình của parabol để tìm y:
y = -\frac{6}{25}(0)^2 + 6
y = 6
Vậy tọa độ của điểm trên parabol ở vị trí chính giữa cổng là (0, 6).
Bước 3: Tính chiều cao của xe tải
Chiều cao của xe tải phải thấp hơn chiều cao của điểm trên parabol ở vị trí chính giữa cổng để xe có thể đi vào cổng mà không chạm tường. Do đó, chiều cao h của xe tải phải thấp hơn 6m.
Đáp số: Chiều cao h của xe tải phải thấp hơn 6m để xe có thể đi vào cổng mà không chạm tường.
Câu 6.
Điều kiện xác định: và .
Bước 1: Bình phương cả hai vế của phương trình:
Bước 2: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
Bước 3: Giải phương trình bậc hai:
Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định:
- Với :
Vậy thỏa mãn điều kiện xác định.
- Với :
Vậy không thỏa mãn điều kiện xác định.
Bước 5: Kết luận nghiệm:
Phương trình có nghiệm duy nhất là .
Bước 6: Tính tổng các nghiệm:
Tổng các nghiệm của phương trình là .
Đáp số: .
Câu 7.
Để tính khoảng cách giữa hai điểm A và B, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh của parabol.
- Chiều cao của cổng parabol là 4m, do đó đỉnh của parabol nằm ở điểm (0, 4).
Bước 2: Xác định tọa độ của các điểm trên parabol.
- Cửa chính hình chữ nhật ở giữa có kích thước 3m x 4m, do đó hai điểm A và B nằm ở hai đầu của cánh cửa phụ.
Bước 3: Xác định phương trình của parabol.
- Ta giả sử phương trình của parabol có dạng y = ax^2 + bx + c.
- Vì đỉnh của parabol là (0, 4), nên c = 4.
- Phương trình trở thành y = ax^2 + bx + 4.
Bước 4: Tìm các hệ số a và b.
- Ta biết rằng điểm (0, 4) thuộc parabol, do đó thay vào phương trình ta có:
4 = a(0)^2 + b(0) + 4
4 = 4
- Ta cũng biết rằng điểm (1.5, 0) thuộc parabol (do cửa chính có chiều rộng 3m), do đó thay vào phương trình ta có:
0 = a(1.5)^2 + b(1.5) + 4
0 = 2.25a + 1.5b + 4
Bước 5: Giải hệ phương trình để tìm a và b.
- Ta có hệ phương trình:
4 = 4
0 = 2.25a + 1.5b + 4
- Từ phương trình thứ hai, ta có:
2.25a + 1.5b = -4
9a + 6b = -16
3a + 2b = -\frac{16}{3}
Bước 6: Thay a và b vào phương trình của parabol.
- Ta có phương trình của parabol là y = ax^2 + bx + 4.
Bước 7: Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B.
- Ta biết rằng hai điểm A và B nằm ở hai đầu của cánh cửa phụ, do đó tọa độ của chúng là (-1.5, 0) và (1.5, 0).
- Khoảng cách giữa hai điểm A và B là:
AB = 1.5 - (-1.5) = 3
Vậy khoảng cách giữa hai điểm A và B là 3m.
Câu 8.
Để phương trình có nghiệm, ta cần điều kiện , trong đó là biệt thức của phương trình bậc hai.
Ta tính biệt thức:
Để phương trình có nghiệm, ta cần:
Ta giải bất phương trình này bằng cách tìm nghiệm của phương trình tương ứng:
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
Vậy ta có hai nghiệm:
Biểu đồ số thực cho thấy:
- Khi , ta có
- Khi , ta có
- Khi , ta có
Do đó, phương trình có nghiệm khi:
Vậy tập hợp các giá trị của để phương trình có nghiệm là:
Câu 9.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tọa độ trong mặt phẳng để xác định xem chiếc tủ lạnh có thể kê vừa vào vị trí cần kê hay không.
1. Xác định tọa độ các đỉnh của hình thang vuông:
- Gọi đỉnh A(0, 0)
- Gọi đỉnh B(150, 0)
- Gọi đỉnh C(250, 150)
- Gọi đỉnh D(0, 150)
2. Xác định kích thước của tủ lạnh:
- Chiều cao của tủ lạnh là 183 cm
- Bề ngang của tủ lạnh là 90 cm
3. Kiểm tra xem tủ lạnh có thể kê vừa vào vị trí cần kê hay không:
- Chúng ta cần kiểm tra xem liệu có thể đặt một hình chữ nhật có kích thước 183 cm x 90 cm vào trong hình thang vuông đã cho hay không.
4. Kiểm tra chiều cao:
- Chiều cao của hình thang vuông là 150 cm, trong khi chiều cao của tủ lạnh là 183 cm. Điều này có nghĩa là tủ lạnh cao hơn so với chiều cao của hình thang vuông, do đó không thể kê vừa vào vị trí cần kê.
Kết luận:
Bố mẹ bạn Nam không thể kê vừa chiếc tủ lạnh vào vị trí cần kê vì chiều cao của tủ lạnh (183 cm) lớn hơn chiều cao của hình thang vuông (150 cm).
Đáp số: Không thể kê vừa.