Cgxghchchchchchcch

Câu 19: Để tính thể tích \( V \) của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \( x = 0 \) và \( x = 2 \), ta cần biết diện tích của thiết diện vuông góc với trục \( Ox \) tại điểm có hoành độ \( x \). Thiết diện này là một nửa hình tròn có đường kính \( \sqrt{5}x^2 \). Ta sẽ tính diện tích của nửa hình tròn này. Bước 1: Tính bán kính của nửa hình tròn: \[ R = \frac{\sqrt{5}x^2}{2} \] Bước 2: Tính diện tích của nửa hình tròn: \[ A(x) = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi \left( \frac{\sqrt{5}x^2}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} \pi \left( \frac{5x^4}{4} \right) = \frac{5\pi x^4}{8} \] Bước 3: Tính thể tích \( V \) của vật thể bằng cách tích phân diện tích thiết diện từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \): \[ V = \int_{0}^{2} A(x) \, dx = \int_{0}^{2} \frac{5\pi x^4}{8} \, dx \] Bước 4: Thực hiện tích phân: \[ V = \frac{5\pi}{8} \int_{0}^{2} x^4 \, dx = \frac{5\pi}{8} \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = \frac{5\pi}{8} \cdot \frac{2^5}{5} = \frac{5\pi}{8} \cdot \frac{32}{5} = \frac{32\pi}{8} = 4\pi \] Vậy thể tích \( V \) của vật thể là: \[ V = 4\pi \] Đáp án đúng là: C. \( V = 4\pi \) Câu 20: Để tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \( x = 1 \) và \( x = 4 \), ta sẽ sử dụng phương pháp cắt vật thể thành các thiết diện và tính tổng thể tích của chúng. 1. Xác định diện tích thiết diện: - Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \( x \) (với \( 1 \leq x \leq 4 \)), ta được thiết diện là một hình lục giác đều có độ dài cạnh là \( 2x \). Diện tích \( S(x) \) của một hình lục giác đều có độ dài cạnh \( a \) là: \[ S(x) = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \] Trong trường hợp này, \( a = 2x \), nên diện tích thiết diện là: \[ S(x) = \frac{3\sqrt{3}}{2} (2x)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4x^2 = 6\sqrt{3} x^2 \] 2. Tính thể tích V: - Thể tích V của vật thể được tính bằng cách tích phân diện tích thiết diện \( S(x) \) từ \( x = 1 \) đến \( x = 4 \): \[ V = \int_{1}^{4} S(x) \, dx = \int_{1}^{4} 6\sqrt{3} x^2 \, dx \] Ta thực hiện phép tích phân: \[ V = 6\sqrt{3} \int_{1}^{4} x^2 \, dx \] Tích phân của \( x^2 \) là: \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \] Do đó: \[ V = 6\sqrt{3} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{4} = 6\sqrt{3} \left( \frac{4^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right) = 6\sqrt{3} \left( \frac{64}{3} - \frac{1}{3} \right) = 6\sqrt{3} \cdot \frac{63}{3} = 6\sqrt{3} \cdot 21 = 126\sqrt{3} \] Vậy thể tích V của phần vật thể là: \[ V = 126\sqrt{3} \] Đáp án đúng là: D. \( V = 126\sqrt{3} \). Câu 21: Để tìm vận tốc ban đầu \( b \) của ô tô, ta cần tính khoảng cách mà ô tô đã di chuyển từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn. Ta biết rằng vận tốc của ô tô theo thời gian \( t \) là \( v(t) = -4t + b \). Trước tiên, ta cần xác định thời điểm \( t_0 \) mà ô tô dừng hẳn. Khi ô tô dừng hẳn, vận tốc của nó bằng 0: \[ v(t_0) = -4t_0 + b = 0 \] \[ t_0 = \frac{b}{4} \] Tiếp theo, ta tính khoảng cách mà ô tô đã di chuyển trong thời gian từ khi đạp phanh đến khi dừng hẳn. Khoảng cách này được tính bằng tích phân của vận tốc theo thời gian từ 0 đến \( t_0 \): \[ s = \int_{0}^{t_0} v(t) \, dt = \int_{0}^{\frac{b}{4}} (-4t + b) \, dt \] Ta thực hiện tích phân: \[ s = \left[ -2t^2 + bt \right]_{0}^{\frac{b}{4}} \] \[ s = \left( -2 \left( \frac{b}{4} \right)^2 + b \left( \frac{b}{4} \right) \right) - (0) \] \[ s = -2 \left( \frac{b^2}{16} \right) + \frac{b^2}{4} \] \[ s = -\frac{b^2}{8} + \frac{b^2}{4} \] \[ s = -\frac{b^2}{8} + \frac{2b^2}{8} \] \[ s = \frac{b^2}{8} \] Theo đề bài, khoảng cách này bằng 50 m: \[ \frac{b^2}{8} = 50 \] \[ b^2 = 400 \] \[ b = 20 \text{ m/s} \] Vậy đáp án đúng là: D. 20 m/s. Câu 22: Để giải bài toán này, chúng ta cần tính khoảng cách mà ô tô đã đi được trong hai giai đoạn: giai đoạn tăng tốc và giai đoạn giảm tốc. Giai đoạn 1: Tăng tốc - Vận tốc ban đầu: \( v_1(0) = 2 \cdot 0 + 12 = 12 \, \text{m/s} \) - Vận tốc cuối cùng trước khi phanh: \( v_1(t_1) = 2t_1 + 12 \) Giai đoạn 2: Giảm tốc - Vận tốc ban đầu khi bắt đầu phanh: \( v_2(0) = 2t_1 + 12 \) - Vận tốc cuối cùng khi dừng lại: \( v_2(t_2) = 24 - 6t_2 = 0 \) Từ đó, ta có: \[ 24 - 6t_2 = 0 \] \[ t_2 = 4 \, \text{s} \] Vận tốc ban đầu của giai đoạn giảm tốc cũng là vận tốc cuối cùng của giai đoạn tăng tốc: \[ 2t_1 + 12 = 24 \] \[ 2t_1 = 12 \] \[ t_1 = 6 \, \text{s} \] Tính khoảng cách đã đi được trong mỗi giai đoạn Giai đoạn 1: Tăng tốc - Vận tốc trung bình: \( v_{\text{tb1}} = \frac{v_1(0) + v_1(t_1)}{2} = \frac{12 + 24}{2} = 18 \, \text{m/s} \) - Khoảng cách: \( s_1 = v_{\text{tb1}} \cdot t_1 = 18 \cdot 6 = 108 \, \text{m} \) Giai đoạn 2: Giảm tốc - Vận tốc trung bình: \( v_{\text{tb2}} = \frac{v_2(0) + v_2(t_2)}{2} = \frac{24 + 0}{2} = 12 \, \text{m/s} \) - Khoảng cách: \( s_2 = v_{\text{tb2}} \cdot t_2 = 12 \cdot 4 = 48 \, \text{m} \) Tổng khoảng cách đã đi được \[ s_{\text{tổng}} = s_1 + s_2 = 108 + 48 = 156 \, \text{m} \] Vậy, từ khi xuất phát đến lúc dừng lại, xe ô tô đã đi được 156 mét. Đáp án đúng là: A. 156 m. Câu 23: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân để tìm quãng đường mà ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn. Bước 1: Xác định thời điểm ô tô dừng hẳn - Ô tô dừng hẳn khi vận tốc \( v(t) = 0 \). - Ta có phương trình: \( 20 - 40t = 0 \). Giải phương trình: \[ 20 - 40t = 0 \] \[ 40t = 20 \] \[ t = \frac{20}{40} \] \[ t = 0.5 \text{ giây} \] Bước 2: Tính quãng đường ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn - Quãng đường \( s \) được tính bằng tích phân của vận tốc theo thời gian từ \( t = 0 \) đến \( t = 0.5 \): \[ s = \int_{0}^{0.5} v(t) \, dt \] \[ s = \int_{0}^{0.5} (20 - 40t) \, dt \] Tính tích phân: \[ s = \left[ 20t - 20t^2 \right]_{0}^{0.5} \] \[ s = \left( 20 \cdot 0.5 - 20 \cdot (0.5)^2 \right) - \left( 20 \cdot 0 - 20 \cdot 0^2 \right) \] \[ s = \left( 10 - 20 \cdot 0.25 \right) - 0 \] \[ s = 10 - 5 \] \[ s = 5 \text{ mét} \] Vậy, từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển được 5 mét. Đáp án đúng là: C. 5 m. Câu 24: Để tìm vận tốc của vật sau khi chuyển động với gia tốc \(a(t) = 3t^2 + t\) trong 2 giây, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm công thức của vận tốc \(v(t)\): Gia tốc \(a(t)\) là đạo hàm của vận tốc \(v(t)\): \[ a(t) = \frac{dv(t)}{dt} \] Do đó, ta có: \[ \frac{dv(t)}{dt} = 3t^2 + t \] 2. Tích phân để tìm \(v(t)\): Tích phân cả hai vế theo thời gian \(t\): \[ v(t) = \int (3t^2 + t) \, dt \] Ta tính tích phân từng phần: \[ v(t) = \int 3t^2 \, dt + \int t \, dt \] \[ v(t) = 3 \cdot \frac{t^3}{3} + \frac{t^2}{2} + C \] \[ v(t) = t^3 + \frac{t^2}{2} + C \] 3. Xác định hằng số \(C\): Biết rằng vận tốc ban đầu của vật là \(2 \, m/s\) khi \(t = 0\): \[ v(0) = 0^3 + \frac{0^2}{2} + C = 2 \] \[ C = 2 \] Vậy công thức của vận tốc là: \[ v(t) = t^3 + \frac{t^2}{2} + 2 \] 4. Tính vận tốc sau 2 giây: Thay \(t = 2\) vào công thức của vận tốc: \[ v(2) = 2^3 + \frac{2^2}{2} + 2 \] \[ v(2) = 8 + \frac{4}{2} + 2 \] \[ v(2) = 8 + 2 + 2 \] \[ v(2) = 12 \, m/s \] Vậy vận tốc của vật sau khi chuyển động với gia tốc đó được 2 giây là \(12 \, m/s\). Đáp án đúng là: B. \(12 \, m/s\).