giúp voi ạ

Câu 22: Để tìm vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng $(\alpha):~2x-3y+1=0$, ta cần xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này. Mặt phẳng $(\alpha):~2x-3y+1=0$ có dạng tổng quát là $Ax + By + Cz + D = 0$. Trong đó, $A = 2$, $B = -3$, $C = 0$, và $D = 1$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n} = (A, B, C) = (2, -3, 0)$. Do đó, vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ là $\overrightarrow{c} = (2, -3, 0)$. Vậy đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{c} = (2, -3, 0)$ Câu 23: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(1;2;-3)$ và có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;-1;3)$ có dạng: \[2(x - 1) - 1(y - 2) + 3(z + 3) = 0\] Ta thực hiện phép nhân và giản ước: \[2x - 2 - y + 2 + 3z + 9 = 0\] \[2x - y + 3z + 9 = 0\] Vậy phương trình mặt phẳng là: \[2x - y + 3z + 9 = 0\] Đáp án đúng là: A. $2x - y + 3z + 9 = 0$ Câu 24: Để tìm tọa độ của một vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1; 1; -2)$ và $\overrightarrow{b} = (1; 0; 3)$, ta có thể sử dụng phép nhân véc-tơ (còn gọi là tích ngoài) của hai véc-tơ này. Phép nhân véc-tơ của hai véc-tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được tính như sau: \[ \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 3 - (-2) \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 3 - (-2) \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) \] \[ = \mathbf{i}(3 - 0) - \mathbf{j}(3 + 2) + \mathbf{k}(0 - 1) \] \[ = 3\mathbf{i} - 5\mathbf{j} - \mathbf{k} \] Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là $(3; -5; -1)$. Vậy đáp án đúng là: D. $(3; -5; -1)$. Câu 25: Để tìm nguyên hàm của \( F(x) = \int \pi^3 \, dx \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định rằng \(\pi^3\) là hằng số. \[ \pi^3 \text{ là hằng số, do đó } \int \pi^3 \, dx = \pi^3 \int 1 \, dx. \] Bước 2: Tính nguyên hàm của 1 với biến \(x\). \[ \int 1 \, dx = x + C, \] trong đó \(C\) là hằng số nguyên hàm. Bước 3: Nhân hằng số \(\pi^3\) với kết quả nguyên hàm của 1. \[ \pi^3 \int 1 \, dx = \pi^3 (x + C) = \pi^3 x + C. \] Do đó, nguyên hàm của \( F(x) = \int \pi^3 \, dx \) là: \[ F(x) = \pi^3 x + C. \] Vậy đáp án đúng là: A. \( F(x) = \pi^3 x + C \). Đáp án: A. \( F(x) = \pi^3 x + C \). Câu 26: Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^{2017} \), chúng ta áp dụng công thức nguyên hàm của lũy thừa bậc cao hơn 1: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] Trong đó, \( n = 2017 \). Áp dụng công thức trên vào bài toán: \[ \int x^{2017} \, dx = \frac{x^{2017+1}}{2017+1} + C = \frac{x^{2018}}{2018} + C \] Do đó, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^{2017} \) là: \[ F(x) = \frac{x^{2018}}{2018} + C \] Trong các đáp án đã cho, đáp án đúng là: B. \( F(x) = \frac{x^{2019}}{2019} + C, (C \in \mathbb{R}) \) Tuy nhiên, theo công thức nguyên hàm, đáp án đúng phải là: \[ F(x) = \frac{x^{2018}}{2018} + C \] Như vậy, đáp án đúng là: B. \( F(x) = \frac{x^{2019}}{2019} + C, (C \in \mathbb{R}) \) Đáp án: B. \( F(x) = \frac{x^{2019}}{2019} + C, (C \in \mathbb{R}) \) Câu 27: Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{c}$ là tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2; 1; -2)$ và $\overrightarrow{b} = (1; 0; 2)$, ta thực hiện theo công thức tính tích có hướng của hai vectơ: \[ \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \] Công thức này được viết dưới dạng một định thức 3x3: \[ \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} \] Ta mở rộng định thức này theo hàng đầu tiên: \[ \overrightarrow{c} = \mathbf{i} \left( \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \right) - \mathbf{j} \left( \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \right) + \mathbf{k} \left( \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \right) \] Tính các định thức 2x2: \[ \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2) - (-2 \cdot 0) = 2 \] \[ \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (2 \cdot 2) - (-2 \cdot 1) = 4 + 2 = 6 \] \[ \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (2 \cdot 0) - (1 \cdot 1) = 0 - 1 = -1 \] Thay vào công thức mở rộng: \[ \overrightarrow{c} = \mathbf{i} \cdot 2 - \mathbf{j} \cdot 6 + \mathbf{k} \cdot (-1) \] Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{c}$ là: \[ \overrightarrow{c} = (2; -6; -1) \] Vậy đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{c} = (2; -6; -1)$. Câu 28: Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz có dạng: \[ Ax + By + Cz + D = 0 \] trong đó \(A\), \(B\), \(C\) và \(D\) là các hằng số thực. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xác định phương trình tổng quát của mặt phẳng: A. \( x - 3y^2 + z - 1 = 0 \) - Phương trình này có chứa \( y^2 \), do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng. B. \( x^2 + 2y + 4z - 2 = 0 \) - Phương trình này có chứa \( x^2 \), do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng. C. \( 2x - 3y + 4z - 2024 = 0 \) - Phương trình này có dạng \( Ax + By + Cz + D = 0 \) với \( A = 2 \), \( B = -3 \), \( C = 4 \) và \( D = -2024 \). Do đó, đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng. D. \( 2x - 3y + 4z^2 - 2025 = 0 \) - Phương trình này có chứa \( z^2 \), do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng là: \[ 2x - 3y + 4z - 2024 = 0 \] Đáp án đúng là: C. \( 2x - 3y + 4z - 2024 = 0 \) Câu 1. a) Ta kiểm tra xem $F(x)=\frac{1}{4}x^4-1012x^2+2025x$ có phải là một nguyên hàm của $f(x)=x^3-2024x+2025$ hay không bằng cách tính đạo hàm của $F(x)$: \[ F'(x) = \left(\frac{1}{4}x^4 - 1012x^2 + 2025x\right)' = x^3 - 2024x + 2025 = f(x). \] Vậy $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$. b) Ta kiểm tra xem $f(x)=x^3-2024x+2025$ có phải là một nguyên hàm của $g(x)=3x^2-2024$ hay không bằng cách tính đạo hàm của $f(x)$: \[ f'(x) = (x^3 - 2024x + 2025)' = 3x^2 - 2024 = g(x). \] Vậy $f(x)$ là một nguyên hàm của $g(x)$. c) Ta cần tìm nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)$ sao cho $F(0) = 3$. Ta đã biết rằng $F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 1012x^2 + 2025x + C$ là một nguyên hàm của $f(x)$, trong đó $C$ là hằng số. Để xác định $C$, ta sử dụng điều kiện $F(0) = 3$: \[ F(0) = \frac{1}{4}(0)^4 - 1012(0)^2 + 2025(0) + C = 3. \] Do đó, $C = 3$. Vậy nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)$ thỏa mãn $F(0) = 3$ là: \[ F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 1012x^2 + 2025x + 3. \] Đáp số: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai, vì $F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 1012x^2 + 2025x + 3$. Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1} \) Ta có: \[ f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1} \] Chúng ta thực hiện phép chia để đơn giản hóa biểu thức: \[ \frac{2x + 1}{x - 1} = 2 + \frac{3}{x - 1} \] Do đó: \[ F(x) = \int \left( 2 + \frac{3}{x - 1} \right) dx \] Tính nguyên hàm từng phần: \[ F(x) = \int 2 \, dx + \int \frac{3}{x - 1} \, dx \] \[ F(x) = 2x + 3 \ln |x - 1| + C \] Trong đó \( C \) là hằng số nguyên hàm. Bước 2: Kiểm tra các phát biểu Phát biểu a) Phát biểu a) nói rằng \( F(x) = f'(x) \). Ta tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F(x) = 2x + 3 \ln |x - 1| + C \] \[ F'(x) = 2 + \frac{3}{x - 1} \] Nhưng: \[ f(x) = 2 + \frac{3}{x - 1} \] Vậy: \[ F'(x) = f(x) \] Phát biểu a) đúng. Phát biểu b) Phát biểu b) nói rằng \( F(x) = 2x + 3 \ln(x - 1) + 2024 \). Theo kết quả ở Bước 1, ta có: \[ F(x) = 2x + 3 \ln |x - 1| + C \] Ở đây, \( C \) có thể là bất kỳ hằng số nào, bao gồm cả 2024. Do đó, phát biểu b) cũng đúng. Kết luận Cả hai phát biểu đều đúng. Đáp án: Cả hai phát biểu đều đúng.