Câu 22:
Để tìm vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng $(\alpha):~2x-3y+1=0$, ta cần xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này.
Mặt phẳng $(\alpha):~2x-3y+1=0$ có dạng tổng quát là $Ax + By + Cz + D = 0$. Trong đó, $A = 2$, $B = -3$, $C = 0$, và $D = 1$.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n} = (A, B, C) = (2, -3, 0)$.
Do đó, vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ là $\overrightarrow{c} = (2, -3, 0)$.
Vậy đáp án đúng là:
C. $\overrightarrow{c} = (2, -3, 0)$
Câu 23:
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(1;2;-3)$ và có véc tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;-1;3)$ có dạng:
\[2(x - 1) - 1(y - 2) + 3(z + 3) = 0\]
Ta thực hiện phép nhân và giản ước:
\[2x - 2 - y + 2 + 3z + 9 = 0\]
\[2x - y + 3z + 9 = 0\]
Vậy phương trình mặt phẳng là:
\[2x - y + 3z + 9 = 0\]
Đáp án đúng là: A. $2x - y + 3z + 9 = 0$
Câu 24:
Để tìm tọa độ của một vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a} = (1; 1; -2)$ và $\overrightarrow{b} = (1; 0; 3)$, ta có thể sử dụng phép nhân véc-tơ (còn gọi là tích ngoài) của hai véc-tơ này.
Phép nhân véc-tơ của hai véc-tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được tính như sau:
\[
\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 1 & -2 \\
1 & 0 & 3
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(1 \cdot 3 - (-2) \cdot 0) - \mathbf{j}(1 \cdot 3 - (-2) \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1)
\]
\[
= \mathbf{i}(3 - 0) - \mathbf{j}(3 + 2) + \mathbf{k}(0 - 1)
\]
\[
= 3\mathbf{i} - 5\mathbf{j} - \mathbf{k}
\]
Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là $(3; -5; -1)$.
Vậy đáp án đúng là:
D. $(3; -5; -1)$.
Câu 25:
Để tìm nguyên hàm của \( F(x) = \int \pi^3 \, dx \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định rằng \(\pi^3\) là hằng số.
\[
\pi^3 \text{ là hằng số, do đó } \int \pi^3 \, dx = \pi^3 \int 1 \, dx.
\]
Bước 2: Tính nguyên hàm của 1 với biến \(x\).
\[
\int 1 \, dx = x + C,
\]
trong đó \(C\) là hằng số nguyên hàm.
Bước 3: Nhân hằng số \(\pi^3\) với kết quả nguyên hàm của 1.
\[
\pi^3 \int 1 \, dx = \pi^3 (x + C) = \pi^3 x + C.
\]
Do đó, nguyên hàm của \( F(x) = \int \pi^3 \, dx \) là:
\[
F(x) = \pi^3 x + C.
\]
Vậy đáp án đúng là:
A. \( F(x) = \pi^3 x + C \).
Đáp án: A. \( F(x) = \pi^3 x + C \).
Câu 26:
Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^{2017} \), chúng ta áp dụng công thức nguyên hàm của lũy thừa bậc cao hơn 1:
\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]
Trong đó, \( n = 2017 \).
Áp dụng công thức trên vào bài toán:
\[ \int x^{2017} \, dx = \frac{x^{2017+1}}{2017+1} + C = \frac{x^{2018}}{2018} + C \]
Do đó, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^{2017} \) là:
\[ F(x) = \frac{x^{2018}}{2018} + C \]
Trong các đáp án đã cho, đáp án đúng là:
B. \( F(x) = \frac{x^{2019}}{2019} + C, (C \in \mathbb{R}) \)
Tuy nhiên, theo công thức nguyên hàm, đáp án đúng phải là:
\[ F(x) = \frac{x^{2018}}{2018} + C \]
Như vậy, đáp án đúng là:
B. \( F(x) = \frac{x^{2019}}{2019} + C, (C \in \mathbb{R}) \)
Đáp án: B. \( F(x) = \frac{x^{2019}}{2019} + C, (C \in \mathbb{R}) \)
Câu 27:
Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{c}$ là tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a} = (2; 1; -2)$ và $\overrightarrow{b} = (1; 0; 2)$, ta thực hiện theo công thức tính tích có hướng của hai vectơ:
\[
\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}
\]
Công thức này được viết dưới dạng một định thức 3x3:
\[
\overrightarrow{c} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
2 & 1 & -2 \\
1 & 0 & 2
\end{vmatrix}
\]
Ta mở rộng định thức này theo hàng đầu tiên:
\[
\overrightarrow{c} = \mathbf{i} \left( \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \right) - \mathbf{j} \left( \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \right) + \mathbf{k} \left( \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \right)
\]
Tính các định thức 2x2:
\[
\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2) - (-2 \cdot 0) = 2
\]
\[
\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (2 \cdot 2) - (-2 \cdot 1) = 4 + 2 = 6
\]
\[
\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (2 \cdot 0) - (1 \cdot 1) = 0 - 1 = -1
\]
Thay vào công thức mở rộng:
\[
\overrightarrow{c} = \mathbf{i} \cdot 2 - \mathbf{j} \cdot 6 + \mathbf{k} \cdot (-1)
\]
Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{c}$ là:
\[
\overrightarrow{c} = (2; -6; -1)
\]
Vậy đáp án đúng là:
D. $\overrightarrow{c} = (2; -6; -1)$.
Câu 28:
Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian Oxyz có dạng:
\[ Ax + By + Cz + D = 0 \]
trong đó \(A\), \(B\), \(C\) và \(D\) là các hằng số thực.
Ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xác định phương trình tổng quát của mặt phẳng:
A. \( x - 3y^2 + z - 1 = 0 \)
- Phương trình này có chứa \( y^2 \), do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
B. \( x^2 + 2y + 4z - 2 = 0 \)
- Phương trình này có chứa \( x^2 \), do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
C. \( 2x - 3y + 4z - 2024 = 0 \)
- Phương trình này có dạng \( Ax + By + Cz + D = 0 \) với \( A = 2 \), \( B = -3 \), \( C = 4 \) và \( D = -2024 \). Do đó, đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
D. \( 2x - 3y + 4z^2 - 2025 = 0 \)
- Phương trình này có chứa \( z^2 \), do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng là:
\[ 2x - 3y + 4z - 2024 = 0 \]
Đáp án đúng là: C. \( 2x - 3y + 4z - 2024 = 0 \)
Câu 1.
a) Ta kiểm tra xem $F(x)=\frac{1}{4}x^4-1012x^2+2025x$ có phải là một nguyên hàm của $f(x)=x^3-2024x+2025$ hay không bằng cách tính đạo hàm của $F(x)$:
\[ F'(x) = \left(\frac{1}{4}x^4 - 1012x^2 + 2025x\right)' = x^3 - 2024x + 2025 = f(x). \]
Vậy $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$.
b) Ta kiểm tra xem $f(x)=x^3-2024x+2025$ có phải là một nguyên hàm của $g(x)=3x^2-2024$ hay không bằng cách tính đạo hàm của $f(x)$:
\[ f'(x) = (x^3 - 2024x + 2025)' = 3x^2 - 2024 = g(x). \]
Vậy $f(x)$ là một nguyên hàm của $g(x)$.
c) Ta cần tìm nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)$ sao cho $F(0) = 3$. Ta đã biết rằng $F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 1012x^2 + 2025x + C$ là một nguyên hàm của $f(x)$, trong đó $C$ là hằng số. Để xác định $C$, ta sử dụng điều kiện $F(0) = 3$:
\[ F(0) = \frac{1}{4}(0)^4 - 1012(0)^2 + 2025(0) + C = 3. \]
Do đó, $C = 3$. Vậy nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)$ thỏa mãn $F(0) = 3$ là:
\[ F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 1012x^2 + 2025x + 3. \]
Đáp số:
a) Đúng.
b) Đúng.
c) Sai, vì $F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 1012x^2 + 2025x + 3$.
Câu 2.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1} \)
Ta có:
\[ f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1} \]
Chúng ta thực hiện phép chia để đơn giản hóa biểu thức:
\[ \frac{2x + 1}{x - 1} = 2 + \frac{3}{x - 1} \]
Do đó:
\[ F(x) = \int \left( 2 + \frac{3}{x - 1} \right) dx \]
Tính nguyên hàm từng phần:
\[ F(x) = \int 2 \, dx + \int \frac{3}{x - 1} \, dx \]
\[ F(x) = 2x + 3 \ln |x - 1| + C \]
Trong đó \( C \) là hằng số nguyên hàm.
Bước 2: Kiểm tra các phát biểu
Phát biểu a)
Phát biểu a) nói rằng \( F(x) = f'(x) \).
Ta tính đạo hàm của \( F(x) \):
\[ F(x) = 2x + 3 \ln |x - 1| + C \]
\[ F'(x) = 2 + \frac{3}{x - 1} \]
Nhưng:
\[ f(x) = 2 + \frac{3}{x - 1} \]
Vậy:
\[ F'(x) = f(x) \]
Phát biểu a) đúng.
Phát biểu b)
Phát biểu b) nói rằng \( F(x) = 2x + 3 \ln(x - 1) + 2024 \).
Theo kết quả ở Bước 1, ta có:
\[ F(x) = 2x + 3 \ln |x - 1| + C \]
Ở đây, \( C \) có thể là bất kỳ hằng số nào, bao gồm cả 2024. Do đó, phát biểu b) cũng đúng.
Kết luận
Cả hai phát biểu đều đúng.
Đáp án: Cả hai phát biểu đều đúng.