Câu 3.
a) $S(t)$ là một nguyên hàm của $S^\prime(t).$
- Ta thấy rằng $S^\prime(t) = 1,2698e^{0,014t}$ là đạo hàm của $S(t).$ Do đó, $S(t)$ là một nguyên hàm của $S^\prime(t).$
b) $S(t) = 90,7e^{0,014t} + 90,7.$
- Để kiểm tra xem $S(t) = 90,7e^{0,014t} + 90,7$ có phải là nguyên hàm của $S^\prime(t) = 1,2698e^{0,014t}$ hay không, ta tính đạo hàm của $S(t).$
- Ta có:
\[ S(t) = 90,7e^{0,014t} + 90,7 \]
Tính đạo hàm:
\[ S^\prime(t) = 90,7 \cdot 0,014e^{0,014t} + 0 = 1,2698e^{0,014t} \]
Như vậy, $S(t) = 90,7e^{0,014t} + 90,7$ đúng là nguyên hàm của $S^\prime(t) = 1,2698e^{0,014t}.$
c) Theo công thức trên, tốc độ tăng trưởng dân số nước ta năm 2034 (làm tròn đến hàng phần mười của triệu người/năm) là khoảng 1,7 triệu người/năm.
- Ta cần tính $S^\prime(20)$ vì năm 2034 là 20 năm kể từ năm 2014.
- Thay $t = 20$ vào $S^\prime(t)$:
\[ S^\prime(20) = 1,2698e^{0,014 \cdot 20} \]
\[ S^\prime(20) = 1,2698e^{0,28} \]
- Tính giá trị của $e^{0,28}$:
\[ e^{0,28} \approx 1,323 \]
- Vậy:
\[ S^\prime(20) \approx 1,2698 \times 1,323 \approx 1,678 \]
- Làm tròn đến hàng phần mười:
\[ S^\prime(20) \approx 1,7 \]
Vậy tốc độ tăng trưởng dân số nước ta năm 2034 là khoảng 1,7 triệu người/năm.
Câu 4.
a) Mặt phẳng $(P)$ có phương trình $y = 0$. Ta thấy rằng véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\overrightarrow{n_1} = (0; 1; 0)$. Do đó, $\overrightarrow{n_1}$ là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.
b) Mặt phẳng $(Q)$ có phương trình $\sqrt{3}x - y - 2024 = 0$. Ta thấy rằng véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\overrightarrow{n_2} = (\sqrt{3}; -1; 0)$. Do đó, $\overrightarrow{n_2}$ là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$.
c) Tính tích vô hướng của hai véc tơ $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$:
\[
\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = (0; 1; 0) \cdot (\sqrt{3}; -1; 0) = 0 \cdot \sqrt{3} + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = -1.
\]
Vậy, $\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = -1$.
Đáp số:
a) $\overrightarrow{n_1}$ là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$.
b) $\overrightarrow{n_2}$ là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $(Q)$.
c) $\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2} = -1$.