Cho biểu thức A = $\frac{x^2+x}{x^2-2x+1}:\left(\frac{x+1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{2-x^2}{x^2-x}\right)$ a, Rút gọn biểu thức A b, Tìm x để A 1

Question

Cho biểu thức A = $\frac{x^2+x}{x^2-2x+1}:\left(\frac{x+1}{x}+\frac{1}{x-1}+\frac{2-x^2}{x^2-x}\right)$
a, Rút gọn biểu thức A 
b, Tìm x để A < 0
c, Tính GTNN của A khi x>1

Accepted Answer

a, Rút gọn biểu thức A Điều kiện xác định: $x \neq 0$, $x \neq 1$ Ta có: $$A = \frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1} : \left( \frac{x + 1}{x} + \frac{1}{x - 1} + \frac{2 - x^2}{x^2 - x} \right)$$ Rút gọn từng phần: $$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$$ $$\frac{x + 1}{x} + \frac{1}{x - 1} + \frac{2 - x^2}{x(x - 1)}$$ Tìm mẫu chung của các phân số trong ngoặc: $$= \frac{(x + 1)(x - 1) + x + (2 - x^2)}{x(x - 1)}$$ $$= \frac{x^2 - 1 + x + 2 - x^2}{x(x - 1)}$$ $$= \frac{x + 1}{x(x - 1)}$$ Do đó: $$A = \frac{x(x + 1)}{(x - 1)^2} : \frac{x + 1}{x(x - 1)}$$ $$= \frac{x(x + 1)}{(x - 1)^2} \times \frac{x(x - 1)}{x + 1}$$ $$= \frac{x^2}{x - 1}$$ b, Tìm x để A < 0 $$A = \frac{x^2}{x - 1} < 0$$ Phân tích: - $x^2$ luôn dương khi $x \neq 0$ - $\frac{x^2}{x - 1} < 0$ khi $x - 1 < 0$ - Điều này xảy ra khi $x < 1$ Vậy $x < 1$ và $x \neq 0$ c, Tính GTNN của A khi x > 1 $$A = \frac{x^2}{x - 1}$$ Đặt $t = x - 1$, ta có $x = t + 1$ và $t > 0$ Thay vào biểu thức: $$A = \frac{(t + 1)^2}{t}$$ $$= \frac{t^2 + 2t + 1}{t}$$ $$= t + 2 + \frac{1}{t}$$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: $$t + \frac{1}{t} \geq 2\sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} = 2$$ Do đó: $$A = t + 2 + \frac{1}{t} \geq 2 + 2 = 4$$ Dấu bằng xảy ra khi $t = 1$, tức là $x = 2$ Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là 4, đạt được khi $x = 2$.

Cho biểu thức A = a, Rút gọn biểu thức A b, Tìm x để A < 0 c, Tính GTNN của A khi x>1