Giải trả lời ngắn

Câu 3. Để ô tô có thể đi vào Gara, chúng ta cần đảm bảo rằng chiều rộng của đoạn đường đầu tiên phải đủ lớn để ô tô có thể quay bánh lái và đi vào cổng Gara. Chúng ta sẽ sử dụng hình học để tính toán. 1. Xác định các thông số: - Chiều rộng của đoạn đường đầu tiên: \( x \) (m) - Chiều rộng của đoạn đường thẳng vào cổng Gara: 2,6 m - Kích thước của ô tô: 5 m x 1,0 m 2. Tính toán góc quay bánh lái: - Giả sử ô tô cần quay bánh lái với góc \( \theta \) để đi vào cổng Gara. - Khi ô tô quay bánh lái, bánh trước của ô tô sẽ tạo ra một bán kính quay \( R \). 3. Áp dụng công thức hình học: - Bán kính quay \( R \) của bánh trước ô tô có thể được tính bằng công thức: \[ R = \frac{x + 2,6}{2} \] - Chiều rộng của ô tô là 1,0 m, do đó bán kính quay \( R \) phải lớn hơn hoặc bằng 1,0 m để bánh sau của ô tô không va chạm với tường. 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( x \): - Để ô tô có thể đi vào Gara, bán kính quay \( R \) phải lớn hơn hoặc bằng 1,0 m: \[ \frac{x + 2,6}{2} \geq 1,0 \] - Nhân cả hai vế với 2: \[ x + 2,6 \geq 2,0 \] - Trừ 2,6 từ cả hai vế: \[ x \geq 2,0 - 2,6 \] \[ x \geq -0,6 \] 5. Kiểm tra lại điều kiện thực tế: - Do \( x \) là chiều rộng của đoạn đường đầu tiên, nó phải là một giá trị dương. Vì vậy, chúng ta cần kiểm tra lại các giả định và điều kiện thực tế. 6. Lập phương trình và giải quyết: - Ta thấy rằng \( x \) phải lớn hơn hoặc bằng 1,0 m để đảm bảo bánh sau của ô tô không va chạm với tường khi quay bánh lái. - Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( x \) là 1,0 m. 7. Kết luận: - Chiều rộng nhỏ nhất của đoạn đường đầu tiên để ô tô có thể đi vào Gara là 1,0 m. Đáp số: Chiều rộng nhỏ nhất của đoạn đường đầu tiên là 1,0 m. Câu 4. Để tìm số phần tử của tập hợp S, chúng ta cần tính góc giữa hai véc tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ và so sánh nó với 60°. Bước 1: Tính tích vô hướng của hai véc tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot m = 1 - 2m \] Bước 2: Tính độ dài của hai véc tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$: \[ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] \[ |\overrightarrow{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + m^2} = \sqrt{1 + m^2} \] Bước 3: Áp dụng công thức tính cosin của góc giữa hai véc tơ: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|} \] \[ \cos(60^\circ) = \frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} \] Biết rằng $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, ta có: \[ \frac{1 - 2m}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}} = \frac{1}{2} \] Bước 4: Giải phương trình này: \[ 1 - 2m = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2}}{2} \] \[ 2(1 - 2m) = \sqrt{6} \cdot \sqrt{1 + m^2} \] \[ 2 - 4m = \sqrt{6(1 + m^2)} \] Bước 5: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ (2 - 4m)^2 = 6(1 + m^2) \] \[ 4 - 16m + 16m^2 = 6 + 6m^2 \] \[ 10m^2 - 16m - 2 = 0 \] Bước 6: Giải phương trình bậc hai: \[ 5m^2 - 8m - 1 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ m = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1)}}{2 \cdot 5} \] \[ m = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 20}}{10} \] \[ m = \frac{8 \pm \sqrt{84}}{10} \] \[ m = \frac{8 \pm 2\sqrt{21}}{10} \] \[ m = \frac{4 \pm \sqrt{21}}{5} \] Vậy tập hợp S có hai giá trị: \[ S = \left\{ \frac{4 + \sqrt{21}}{5}, \frac{4 - \sqrt{21}}{5} \right\} \] Số phần tử của S là 2. Đáp số: 2 Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của điểm A (cây quạt trần) và điểm B (quả bóng). 2. Tìm tọa độ của điểm C (điểm chạm sàn của cây quạt trần). 3. Tính khoảng cách giữa điểm C và điểm B. Bước 1: Xác định tọa độ của điểm A và điểm B - Điểm A nằm ở tâm trần nhà, do đó tọa độ của điểm A là \( A(4, 3, 4) \). - Điểm B nằm trên sàn và cách tường (Oxz) 2m và cách tường (Oyz) 3m, do đó tọa độ của điểm B là \( B(2, 3, 0) \). Bước 2: Tìm tọa độ của điểm C - Điểm C là điểm chạm sàn của cây quạt trần, do đó tọa độ của điểm C là \( C(4, 3, 0) \). Bước 3: Tính khoảng cách giữa điểm C và điểm B - Ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ d(C, B) = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2 + (z_C - z_B)^2} \] Thay tọa độ của điểm C và điểm B vào công thức: \[ d(C, B) = \sqrt{(4 - 2)^2 + (3 - 3)^2 + (0 - 0)^2} \] \[ d(C, B) = \sqrt{2^2 + 0^2 + 0^2} \] \[ d(C, B) = \sqrt{4} \] \[ d(C, B) = 2 \] Vậy, nếu cây quạt trần đột nhiên rơi xuống sàn thì vị trí chạm sàn của cây quạt cách quả bóng 2 mét. Câu 6. Để tính khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số lần giải Rubik: Tổng số lần giải Rubik là: \[ n = 4 + 6 + 8 + 4 + 3 = 25 \] 2. Tìm khoảng thứ tự của tử phân vị: Tử phân vị là 0.25 (tức là 25%). Khoảng thứ tự của tử phân vị là: \[ k = 0.25 \times 25 = 6.25 \] Ta làm tròn lên để tìm khoảng thứ tự gần nhất, tức là khoảng thứ tự 7. 3. Xác định khoảng chứa tử phân vị: Ta sẽ xác định khoảng chứa tử phân vị dựa trên tổng số lần giải Rubik trong mỗi khoảng: - Khoảng [8; 10): 4 lần - Khoảng [10; 12): 6 lần (tổng là 4 + 6 = 10 lần) - Khoảng [12; 14): 8 lần (tổng là 10 + 8 = 18 lần) Khoảng thứ tự 7 nằm trong khoảng [10; 12). 4. Áp dụng công thức tính tử phân vị: Công thức tính tử phân vị \( Q_{0.25} \) trong khoảng [10; 12) là: \[ Q_{0.25} = 10 + \left( \frac{7 - 4}{6} \right) \times 2 \] \[ Q_{0.25} = 10 + \left( \frac{3}{6} \right) \times 2 \] \[ Q_{0.25} = 10 + 0.5 \times 2 \] \[ Q_{0.25} = 10 + 1 \] \[ Q_{0.25} = 11 \] Vậy khoảng tử phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là 11 giây. Đáp số: 11 giây.