Giải hộ tớ đi i: [ Mức độ 2 ] Biết $F(x)=x^2$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb R.$ Giá trị của,$\int^2_1[2+f(x)]dx$ bằng $(1+3-2)=a.5$,A. 3. B. 5. $C.~\frac{13}3.$ $D.~\frac73.$

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định nguyên hàm của $ f(x) $:
   - Biết rằng $ F(x) = x^2 $ là một nguyên hàm của $ f(x) $. Do đó, $ f(x) = F&#x27;(x) = 2x $.

2. Tính tích phân:
   - Ta cần tính $\int_{1}^{2} [2 + f(x)] \, dx$.
   - Thay $ f(x) = 2x $ vào biểu thức, ta có:
     $$
     \int_{1}^{2} [2 + 2x] \, dx
     $$

3. Tính tích phân từng phần:
   - Tách tích phân thành hai phần:
     $$
     \int_{1}^{2} 2 \, dx + \int_{1}^{2} 2x \, dx
     $$
   - Tính từng phần:
     $$
     \int_{1}^{2} 2 \, dx = 2 \left[ x \right]_{1}^{2} = 2(2 - 1) = 2
     $$
     $$
     \int_{1}^{2} 2x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = 2 \left( \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = 2 \left( 2 - \frac{1}{2} \right) = 2 \times \frac{3}{2} = 3
     $$

4. Cộng các kết quả lại:
   - Tổng của hai tích phân:
     $$
     2 + 3 = 5
     $$

Vậy giá trị của $\int_{1}^{2} [2 + f(x)] \, dx$ là 5.

Đáp án đúng là: B. 5.