Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh: Tứ giác BFEC nội tiếp. b) Kẻ đường kính AM, gọi I là giao điểm của DF và BE. Chứng minh: AD.AM = AB.AC và BI.HE = IH.BE. c) Kẻ CK vuông góc với AM (K∈ AM), kẻ BN vuông góc với AM (N∈ AM). Chứng minh rằng: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DNK nằm trên cạnh BC

Question

Accepted Answer

a)
Tam giác ABC có đường cao BE và CF ⟹ $\displaystyle \begin{cases}
BE\bot AC & \
CF\bot AB &
\end{cases} \Longrightarrow \widehat{BFC} =\widehat{BEC} =90^{0}$
Xét tứ giác BFEC, có:
$\displaystyle \widehat{BFC} =\widehat{BEC} =90^{0}$
mà hai góc này cùng nhìn cạnh BC
⟹ Tứ giác BFEC nội tiếp
b)
Tam giác ABC có đường cao AD ⟹ AD$\displaystyle \bot $BC ⟹ $\displaystyle \widehat{ADB} =\widehat{ADC} =90^{0} \Longrightarrow \widehat{ABD} +\widehat{BAD} =90^{0}$
Tam giác ACM nội tiếp đường tròn đường kính AM ⟹ Tam giác ACM vuông tại C
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{CAM} +\widehat{AMC} =90^{0}$
mà $\displaystyle \widehat{ABD} =\widehat{AMC}$ (góc nôi tiếp cùng chắn cung AC)
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{BAD} =\widehat{CAM}$
Xét $\displaystyle riangle ABD$ và $\displaystyle riangle AMC$, có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\widehat{BAD} =\widehat{CAM}\
\widehat{ADB} =\widehat{ACM} \ =90^{0}\
\Longrightarrow riangle ABD\backsim riangle AMC\ ( g-g)\
\Longrightarrow \frac{AB}{AM} =\frac{AD}{AC}\
\Longrightarrow AD.AM=AB.AC
\end{array}$

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh: Tứ giác BFEC nội tiếp. b) Kẻ đường kính AM, gọi I là giao điểm của DF và BE. Chứng m...