Giải kỹ hộ tớ với ạ

Câu 21: a) Đạo hàm của hàm số $f(x)=\sqrt{25-x^2}$ là $f'(x)=\frac{-x}{\sqrt{25-x^2}}$. b) Diện tích hình phẳng (S) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{25-x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-5$, $x=5$ là: \[ S = 2 \int_{0}^{5} \sqrt{25 - x^2} \, dx \] Ta thực hiện phép tính tích phân này: \[ \int_{0}^{5} \sqrt{25 - x^2} \, dx \] Đặt $x = 5 \sin t$, thì $dx = 5 \cos t \, dt$. Khi đó: \[ \int_{0}^{5} \sqrt{25 - x^2} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{25 - 25 \sin^2 t} \cdot 5 \cos t \, dt \] \[ = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 5 \cos t \cdot 5 \cos t \, dt \] \[ = 25 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t \, dt \] Biến đổi $\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$: \[ 25 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t \, dt = 25 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2t}{2} \, dt \] \[ = \frac{25}{2} \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dt + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2t \, dt \right) \] \[ = \frac{25}{2} \left( \left[ t \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} + \left[ \frac{\sin 2t}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \right) \] \[ = \frac{25}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 + 0 - 0 \right) \] \[ = \frac{25}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \] \[ = \frac{25\pi}{4} \] Do đó diện tích hình phẳng (S) là: \[ S = 2 \cdot \frac{25\pi}{4} = \frac{25\pi}{2} \] c) Thể tích của khối tròn xoay khi quay (S) quanh Ox là: \[ V = \pi \int_{-5}^{5} (\sqrt{25 - x^2})^2 \, dx \] \[ = \pi \int_{-5}^{5} (25 - x^2) \, dx \] \[ = 2\pi \int_{0}^{5} (25 - x^2) \, dx \] Ta thực hiện phép tính tích phân này: \[ \int_{0}^{5} (25 - x^2) \, dx = \left[ 25x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{5} \] \[ = \left( 25 \cdot 5 - \frac{5^3}{3} \right) - \left( 25 \cdot 0 - \frac{0^3}{3} \right) \] \[ = 125 - \frac{125}{3} \] \[ = \frac{375}{3} - \frac{125}{3} \] \[ = \frac{250}{3} \] Do đó thể tích của khối tròn xoay là: \[ V = 2\pi \cdot \frac{250}{3} = \frac{500\pi}{3} \] d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng $y = 3$ là: \[ A = 2 \int_{0}^{4} (\sqrt{25 - x^2} - 3) \, dx \] \[ = 2 \left( \int_{0}^{4} \sqrt{25 - x^2} \, dx - \int_{0}^{4} 3 \, dx \right) \] \[ = 2 \left( \frac{25\pi}{4} - 3 \cdot 4 \right) \] \[ = 2 \left( \frac{25\pi}{4} - 12 \right) \] \[ = 2 \cdot \frac{25\pi}{4} - 2 \cdot 12 \] \[ = \frac{25\pi}{2} - 24 \] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng $y = 3$ là: \[ A = \frac{25\pi}{2} - 24 \] Đáp án đúng là d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và đường thẳng $y = 3$ bằng $K = 2 \int_{0}^{4} \sqrt{25 - x^2} \, dx - 12$. Câu 22: a) $\overrightarrow{AB} = (-5 - 1, 1 + 3, 2 - 0) = (-6, 4, 2)$. Do đó, mệnh đề này sai vì $\overrightarrow{AB} = (-6, 4, 2)$ chứ không phải $(6, -4, -2)$. b) Mặt phẳng (P) trung trực của đoạn thẳng AB sẽ có vectơ pháp tuyến cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$. Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) có thể là $\overrightarrow{n} = (-6, 4, 2)$ hoặc bội của nó. Mệnh đề này đúng vì $\overrightarrow{n} = (12, -8, -4)$ là bội của $\overrightarrow{AB} = (-6, 4, 2)$. c) Phương trình mặt phẳng (P) có dạng $ax + by + cz + d = 0$, trong đó $(a, b, c)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Ta đã biết vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (-6, 4, 2)$. Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB, ta tính trung điểm của AB: \[ M = \left( \frac{1 + (-5)}{2}, \frac{-3 + 1}{2}, \frac{0 + 2}{2} \right) = (-2, -1, 1) \] Thay vào phương trình mặt phẳng: \[ -6x + 4y + 2z + d = 0 \] Thay tọa độ của điểm M vào phương trình: \[ -6(-2) + 4(-1) + 2(1) + d = 0 \] \[ 12 - 4 + 2 + d = 0 \] \[ 10 + d = 0 \] \[ d = -10 \] Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[ -6x + 4y + 2z - 10 = 0 \] Chia cả phương trình cho 2 để đơn giản hóa: \[ -3x + 2y + z - 5 = 0 \] Mệnh đề này sai vì phương trình đúng là $-3x + 2y + z - 5 = 0$ chứ không phải $-3x + 2y + z - 3 = 0$. d) Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) nên có cùng vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (-6, 4, 2)$. Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: \[ -6x + 4y + 2z + d' = 0 \] Mặt phẳng (Q) đi qua điểm C(1, -3, 9), thay tọa độ của C vào phương trình: \[ -6(1) + 4(-3) + 2(9) + d' = 0 \] \[ -6 - 12 + 18 + d' = 0 \] \[ 0 + d' = 0 \] \[ d' = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: \[ -6x + 4y + 2z = 0 \] Mệnh đề này đúng vì phương trình đúng là $-6x + 4y + 2z = 0$, tức là mặt phẳng (Q) đi qua gốc tọa độ. Kết luận: a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng