Bài 6: Áp dụng kiến thức về hằng đẳng thức hãy tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức M = x2 + y2 – x + 6y + 10

Question

Accepted Answer

Bài 6:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức $ M = x^2 + y^2 - x + 6y + 10 $, ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương.

Bước 1: Nhóm các hạng tử liên quan đến $ x $ và $ y $:
$$ M = x^2 - x + y^2 + 6y + 10 $$

Bước 2: Hoàn chỉnh bình phương cho các nhóm $ x $ và $ y $:

- Với $ x^2 - x $:
$$ x^2 - x = \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4} $$

- Với $ y^2 + 6y $:
$$ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 $$

Bước 3: Thay các biểu thức đã hoàn chỉnh bình phương vào đa thức $ M $:
$$ M = \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4} + (y + 3)^2 - 9 + 10 $$
$$ M = \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + (y + 3)^2 - \frac{1}{4} - 9 + 10 $$
$$ M = \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + (y + 3)^2 + \frac{3}{4} $$

Bước 4: Xác định giá trị nhỏ nhất của $ M $:
- Ta thấy rằng $ \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 \geq 0 $ và $ (y + 3)^2 \geq 0 $ với mọi giá trị của $ x $ và $ y $.
- Do đó, giá trị nhỏ nhất của $ M $ xảy ra khi $ \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 = 0 $ và $ (y + 3)^2 = 0 $.

Bước 5: Tìm giá trị của $ x $ và $ y $ khi $ M $ đạt giá trị nhỏ nhất:
$$ x - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2} $$
$$ y + 3 = 0 \Rightarrow y = -3 $$

Bước 6: Thay $ x = \frac{1}{2} $ và $ y = -3 $ vào biểu thức $ M $:
$$ M = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right)^2 + (-3 + 3)^2 + \frac{3}{4} $$
$$ M = 0 + 0 + \frac{3}{4} $$
$$ M = \frac{3}{4} $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của đa thức $ M $ là $ \frac{3}{4} $, đạt được khi $ x = \frac{1}{2} $ và $ y = -3 $.