Cho đa thức A(x)=x^2+x. Tính giá trị biểu thức 1/A(3)+1/A(4)+...+1/A(2023)+1/2024

Question

Accepted Answer

Để tính giá trị biểu thức $ \frac{1}{A(3)} + \frac{1}{A(4)} + ... + \frac{1}{A(2023)} + \frac{1}{2024} $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định giá trị của $ A(x) $
$$ A(x) = x^2 + x $$

Bước 2: Tính giá trị của $ A(x) $ tại các điểm $ x = 3, 4, ..., 2023 $
$$ A(3) = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12 $$
$$ A(4) = 4^2 + 4 = 16 + 4 = 20 $$
$$ ... $$
$$ A(2023) = 2023^2 + 2023 $$

Bước 3: Xét biểu thức $ \frac{1}{A(x)} $
$$ \frac{1}{A(x)} = \frac{1}{x^2 + x} = \frac{1}{x(x + 1)} $$

Bước 4: Ta nhận thấy rằng:
$$ \frac{1}{x(x + 1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} $$

Bước 5: Áp dụng công thức trên vào biểu thức ban đầu:
$$ \frac{1}{A(3)} + \frac{1}{A(4)} + ... + \frac{1}{A(2023)} + \frac{1}{2024} $$
$$ = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) + ... + \left( \frac{1}{2023} - \frac{1}{2024} \right) + \frac{1}{2024} $$

Bước 6: Nhóm các phân số để dễ dàng tính toán:
$$ = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{2023} - \frac{1}{2024} + \frac{1}{2024} $$

Bước 7: Các phân số trung gian sẽ triệt tiêu lẫn nhau:
$$ = \frac{1}{3} - \frac{1}{2024} $$

Bước 8: Tính kết quả cuối cùng:
$$ = \frac{1}{3} - \frac{1}{2024} $$
$$ = \frac{2024 - 3}{3 \times 2024} $$
$$ = \frac{2021}{6072} $$

Vậy giá trị biểu thức $ \frac{1}{A(3)} + \frac{1}{A(4)} + ... + \frac{1}{A(2023)} + \frac{1}{2024} $ là $ \frac{2021}{6072} $.