Giúp mình với! Cho ba điểm A ,B,C nằm trên đường thẳng xy theo thứ tự đó . Vẽ đường tròn (O) đi qua B và C,. Từ điểm A , vẽ hai tiếp tuyến AM; AN. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BC và MN.,a) Chứng minh $AM^2=AN^2=AB.AC$,b) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) tại I . Chứng minh $IN//AB$,c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm trên một đường,thẳng cố định khi đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn đi qua B và C.

Question

Accepted Answer

a.Xét $ riangle A M B, riangle A M C$ có:

Chung $\hat{A}$
$\widehat{B M A}=\widehat{M C A}$ vì $M A$ là tiếp tuyến của $(O)$
$ ightarrow riangle A M B \sim riangle A C M(g . g)$
$ ightarrow \frac{A M}{A C}=\frac{A B}{A M}$
$ ightarrow A M^2=A B \cdot A C$
Do $A M, A N$ là tiếp tuyến của $(O) ightarrow A M=A N$

$ightarrow A M^2=A N^2=A B \cdot A C$

b.Vi $I$ là trung điếm $B C ightarrow O I \perp B C$
$A M, A N$ là tiếp tuyến của $(O) ightarrow O M \perp A M, O N \perp A N$

$ightarrow \widehat{A M O}=\widehat{A N O}=\widehat{A E O}=90^{\circ}$

$ ightarrow A, M, O, E, N \in$ đường tròn đường kính $A O$
Do $A M=A N ightarrow O A$ là phân giác $\widehat{M O N}$
$ ightarrow \widehat{E I N}=\widehat{M I N}=\frac{1}{2} \widehat{M O N}=\widehat{A O N}=\widehat{A E N}$
$ ightarrow N I / / A B$

c.Gọi $M N \cap B C=D$
vî $O E \perp B C ightarrow E$ là trung điểm $B C$
vì $A, B, C$ cố định

$ightarrow E ext { cố định }$
Ta có: $A M, A N$ là tiếp tuyến của $(O) ightarrow A O \perp M N$ tại trung điểm $M N$

$ightarrow A O \perp M N=F$
Xét $ riangle A F D, riangle A O E$ có:
Chung $\hat{A}$

$$
\begin{aligned}
& \widehat{A F D}=\widehat{A E O}\left(=90^{\circ} ight) \
& ightarrow riangle A F D \sim riangle A E O(g \cdot g) \
& ightarrow \frac{A F}{A E}=\frac{A D}{A O} \
& ightarrow A E \cdot A D=A F \cdot A O
\end{aligned}
$$
Ta có: $ riangle A M O$ vuông tại $M, M F \perp A O$

$$
\begin{aligned}
& ightarrow A F \cdot A O=A M^2=A B \cdot A C \
& ightarrow A E \cdot A D=A B \cdot A C \
& ightarrow A D=\frac{A B \cdot A C}{A E} \
& ightarrow A D ext { không đối } \
& ightarrow D ext { cố định }
\end{aligned}
$$
Ta có: $\widehat{O F D}=\widehat{O E D}=90^{\circ}$
$ ightarrow O F D E$ nội tiếp đường tròn đường kính $O D$
$ ightarrow D \in(O E F)$
$ ightarrow(O E F)$ có tâm đi thuộc đường trung trực $D E$ cố định
$ ightarrow đ p c m$