chọn đáp án đúng PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu,thí sinh chỉ chọn một phương án (3.0 điểm).,Câu 1. Cho hàm số $f(x)=7^x.$ Khẳng định nào sau đây đúng?,$A.~\int7^xdx=\frac{7^x}{\ln7}+C$ $B.~\int7^xdx=\frac{7^{x+1}}{x+1}+C$ $C.~\int7^xdx=7^{x+1}+C$ $D.~\int7^xdx=7^x\ln7+C$,Câu 2. Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng K nếu,$A.~F^\prime(x)=f(x),~\forall x\in K.$ $B.~f^\prime(x)=F(x),~\forall x\in K.$,$C.~F^\prime(x)=-f(x),~\forall x\in K.$ $D.~f^\prime(x)=-F(x),~\forall x\in K.$,Câu 3. Giá trị của $\int^{\frac\pi2}_0\sin xdx$ bằng,A. 0. $B.~\frac\pi2.$ C. 1. D. -1.,Câu 4. Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm $f(x)$ trên,$[a;b].$ Khẳng định nào dưới đây ĐÚNG?,$A.~\int^b_af(x)dx=f(b)-f(a).$ $B.~\int^b_af(x)dx=F(a)-F(b).$,$C.~\int^b_af(x)dx=F(b)-F(a).$ $D.~\int^b_af(x)dx=F(b)+F(a).$,Câu 5. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[a;b]$ có đồ thị như hình vẽ. Thể tích của khối tròn xoay,khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x),~y=0,~x=a,~x=b$ quanh trục Ox được tính,theo công thức nào sau đây:,,$A.~V=\pi\int^b_af^2(x)dx.$ $B.~V=\int^b_af^2(x)dx.$,$V=\pi\int^b_af(x)dx.$ $V=\int^b_a\pi^2f^2(x)dx.$,Câu 6. Cho hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ liên tục trên $\Box.$ Phát biểu nào sau đây là đúng?,$A.~\int f^k(x)dx=(\int f(x)dx)^k,~\forall k\in\Box$ $B.~\int f(x)\pm g(x)dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx.$,$C.~\int kf(x)dx=k\int f(x)dx,~\forall k\in\Box.$ $D.~\int f(x)g(x)dx=\int f(x)dx\int g(x)dx$,Câu 7. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\&i;bù.$ Mệnh đề nào sau đây sai?,$A.~òf(x)dx=\underset b{\overset aò}f(x)dx$ $B.~\underset aòf(x)dx=-\underset bòf(x)dx$,$C.~òf(x)dx=òf(t)d(t)$ $D.~ò^{2025f(x)dx=0.$,Câu 8. Trong không gian Oxyz , vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng,$(\alpha):~3x-2y+z+5=0?$,$A.~\overrightarrow{n_3}=(6;-4;-2).$ $B.~\overrightarrow{n_4}=(3;-2;0).$ $C.~\overrightarrow{n_2}=(-3;2;1).$ $D.~\overrightarrow{n_1}=(3;-2;1).$

Question

chọn đáp án đúng PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu,thí sinh chỉ chọn một phương án (3.0 điểm).,Câu 1. Cho hàm số $f(x)=7^x.$ Khẳng định nào sau đây đúng?,$A.~\int7^xdx=\frac{7^x}{\ln7}+C$ $B.~\int7^xdx=\frac{7^{x+1}}{x+1}+C$ $C.~\int7^xdx=7^{x+1}+C$ $D.~\int7^xdx=7^x\ln7+C$,Câu 2. Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng K nếu,$A.~F^\prime(x)=f(x),~\forall x\in K.$ $B.~f^\prime(x)=F(x),~\forall x\in K.$,$C.~F^\prime(x)=-f(x),~\forall x\in K.$ $D.~f^\prime(x)=-F(x),~\forall x\in K.$,Câu 3. Giá trị của $\int^{\frac\pi2}_0\sin xdx$ bằng,A. 0. $B.~\frac\pi2.$ C. 1. D. -1.,Câu 4. Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm $f(x)$ trên,$[a;b].$ Khẳng định nào dưới đây ĐÚNG?,$A.~\int^b_af(x)dx=f(b)-f(a).$ $B.~\int^b_af(x)dx=F(a)-F(b).$,$C.~\int^b_af(x)dx=F(b)-F(a).$ $D.~\int^b_af(x)dx=F(b)+F(a).$,Câu 5. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $[a;b]$ có đồ thị như hình vẽ. Thể tích của khối tròn xoay,khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x),~y=0,~x=a,~x=b$ quanh trục Ox được tính,theo công thức nào sau đây:,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/eed92f00b2a1468d9fc8fe99ab9026db.jpg />,$A.~V=\pi\int^b_af^2(x)dx.$ $B.~V=\int^b_af^2(x)dx.$,$V=\pi\int^b_af(x)dx.$ $V=\int^b_a\pi^2f^2(x)dx.$,Câu 6. Cho hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ liên tục trên $\Box.$ Phát biểu nào sau đây là đúng?,$A.~\int f^k(x)dx=(\int f(x)dx)^k,~\forall k\in\Box$ $B.~\int f(x)\pm g(x)dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx.$,$C.~\int kf(x)dx=k\int f(x)dx,~\forall k\in\Box.$ $D.~\int f(x)g(x)dx=\int f(x)dx\int g(x)dx$,Câu 7. Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\&i;bù.$ Mệnh đề nào sau đây sai?,$A.~òf(x)dx=\underset b{\overset aò}f(x)dx$ $B.~\underset aòf(x)dx=-\underset bòf(x)dx$,$C.~òf(x)dx=òf(t)d(t)$ $D.~ò^{2025f(x)dx=0.$,Câu 8. Trong không gian Oxyz , vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng,$(\alpha):~3x-2y+z+5=0?$,$A.~\overrightarrow{n_3}=(6;-4;-2).$ $B.~\overrightarrow{n_4}=(3;-2;0).$ $C.~\overrightarrow{n_2}=(-3;2;1).$ $D.~\overrightarrow{n_1}=(3;-2;1).$

Accepted Answer

Câu 1.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 7^x $.

Bước 1: Xác định nguyên hàm của hàm số $ 7^x $.

Theo công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa cơ số thực, ta có:
$$ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C $$
Trong đó, $ a $ là hằng số dương khác 1 và $ \ln a $ là lôgarit tự nhiên của $ a $.

Áp dụng công thức trên vào hàm số $ f(x) = 7^x $:
$$ \int 7^x \, dx = \frac{7^x}{\ln 7} + C $$

Bước 2: Kiểm tra các đáp án đã cho.

A. $ \int 7^x \, dx = \frac{7^x}{\ln 7} + C $
B. $ \int 7^x \, dx = \frac{7^{x+1}}{x+1} + C $
C. $ \int 7^x \, dx = 7^{x+1} + C $
D. $ \int 7^x \, dx = 7^x \ln 7 + C $

So sánh với kết quả đã tính ở Bước 1, ta thấy rằng đáp án đúng là:
$$ \int 7^x \, dx = \frac{7^x}{\ln 7} + C $$

Vậy, khẳng định đúng là:
A. $ \int 7^x \, dx = \frac{7^x}{\ln 7} + C $

Đáp án: A. $ \int 7^x \, dx = \frac{7^x}{\ln 7} + C $

Câu 2.
Để xác định hàm số $ F(x) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f(x) $ trên khoảng $ K $, ta cần kiểm tra điều kiện nào trong các lựa chọn A, B, C, D là đúng.

Theo định nghĩa của nguyên hàm, hàm số $ F(x) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f(x) $ trên khoảng $ K $ nếu và chỉ nếu đạo hàm của $ F(x) $ bằng $ f(x) $ tại mọi điểm thuộc khoảng $ K $. Điều này có thể viết dưới dạng:
$$ F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K. $$

Do đó, đáp án đúng là:
A. $ F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K. $

Vậy, đáp án cuối cùng là:
A. $ F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K. $

Câu 3.
Để tính giá trị của $\int^{\frac\pi2}_0\sin xdx$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định nguyên hàm của $\sin x$.

Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x$.

Bước 2: Áp dụng công thức tính tích phân.

$$
\int^{\frac\pi2}_0\sin xdx = \left[-\cos x\right]^{\frac\pi2}_0
$$

Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức nguyên hàm.

$$
= -\cos\left(\frac\pi2\right) - (-\cos(0))
$$

Bước 4: Tính giá trị của các biểu thức.

$$
= -0 - (-1) = 1
$$

Vậy giá trị của $\int^{\frac\pi2}_0\sin xdx$ là 1.

Đáp án đúng là: C. 1.

Câu 4.
Theo định lý Newton-Leibniz, nếu $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[a; b]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn đó, thì ta có:

$$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) $$

Do đó, khẳng định đúng là:

C. $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$

Đáp án: C. $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$

Câu 5.
Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x),~y=0,~x=a,~x=b$ quanh trục Ox được tính theo công thức:

$$ V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) \, dx $$

Do đó, đáp án đúng là:

A. $V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) \, dx$.

Câu 6.
Ta xét từng phát biểu:

A. $~\int f^k(x)dx=(\int f(x)dx)^k,~\forall k\in\Box$

Phát biểu này sai vì tích phân của lũy thừa của một hàm số không bằng lũy thừa của tích phân của hàm số đó.

B. $~\int f(x)\pm g(x)dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx.$

Phát biểu này đúng vì tích phân của tổng (hoặc hiệu) của hai hàm số bằng tổng (hoặc hiệu) của tích phân của mỗi hàm số.

C. $~\int kf(x)dx=k\int f(x)dx,~\forall k\in\Box.$

Phát biểu này đúng vì tích phân của một hằng số nhân với một hàm số bằng hằng số đó nhân với tích phân của hàm số đó.

D. $~\int f(x)g(x)dx=\int f(x)dx\int g(x)dx$

Phát biểu này sai vì tích phân của tích của hai hàm số không bằng tích của tích phân của mỗi hàm số.

Vậy phát biểu đúng là B và C.

Câu 7.
Để xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề về tính chất của tích phân, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một.

A. $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx$

Theo tính chất của tích phân, nếu đổi cận dưới và cận trên thì tích phân sẽ thay đổi dấu. Do đó, mệnh đề này đúng.

B. $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx$

Mệnh đề này đã được kiểm tra ở trên và là đúng.

C. $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(t) \, dt$

Theo tính chất của tích phân, việc thay đổi biến số trong tích phân không ảnh hưởng đến giá trị của tích phân. Do đó, mệnh đề này đúng.

D. $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$

Theo tính chất của tích phân, tích phân của một hàm số từ một điểm đến chính điểm đó là 0. Do đó, mệnh đề này đúng.

Như vậy, tất cả các mệnh đề đều đúng ngoại trừ mệnh đề D, vì nó không liên quan đến các tính chất tích phân đã nêu.

Vậy, mệnh đề sai là:
D. $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$

Đáp án: D.

Câu 8.
Phương pháp giải:
- Mặt phẳng $(\alpha)$ có phương trình $3x - 2y + z + 5 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này sẽ có dạng $(a, b, c)$ sao cho $a$, $b$, $c$ là các hệ số của $x$, $y$, $z$ trong phương trình mặt phẳng.
- Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ là $\overrightarrow{n} = (3, -2, 1)$.

Ta kiểm tra từng đáp án:
- Đáp án A: $\overrightarrow{n_3} = (6, -4, -2)$. Ta thấy rằng $\overrightarrow{n_3} = 2 \cdot (3, -2, 1)$. Vì vậy, $\overrightarrow{n_3}$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$.
- Đáp án B: $\overrightarrow{n_4} = (3, -2, 0)$. Ta thấy rằng $\overrightarrow{n_4}$ không phải là bội của $\overrightarrow{n} = (3, -2, 1)$, do đó nó không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$.
- Đáp án C: $\overrightarrow{n_2} = (-3, 2, 1)$. Ta thấy rằng $\overrightarrow{n_2} = -1 \cdot (3, -2, 1)$. Vì vậy, $\overrightarrow{n_2}$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$.
- Đáp án D: $\overrightarrow{n_1} = (3, -2, 1)$. Ta thấy rằng $\overrightarrow{n_1} = (3, -2, 1)$. Vì vậy, $\overrightarrow{n_1}$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$.

Như vậy, các đáp án đúng là A, C và D.

Đáp án: A, C, D.