Giải chi tiết giúp mình Câu 2. Cho tích phân $I=\int\sqrt{a^2-x^2}dx,$ với $a0.$ Tìm giá trị của $a$ để $I=8\pi.$,Câu 3. Bạn An nhận thiết kế logo hình con mắt (phần được tô đậm trong hình 7) cho một cơ sở y tế.,Logo là hình phẳng giới hạn bởi 2 parabol $y=f(x)$ và $y=g(x)$ như hình 7 (đơn vị trên mỗi trục toạ độ,là dm). Bạn An cần tính diện tích của logo để báo giá cho cơ sở y tế đó trước khi kí hợp đồng. Diện tích của,logo bằng $x~dm^2$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Tìm x.,,Câu 4. Cho $g(x)=\int^2_0f(t)dt,(0\leq x\leq7)$ trong đó $f(t)$ là hàm số có đồ thị như hình dưới đây.,,Tính,Câu 5. Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm . Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung,đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô mầu sẫm như hình vẽ bên).,,Tính diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).,Câu 6. Một người chạy trong 2 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là 1 phần của,đường Parabol với đỉnh $I(1;5)$ và trục đối xứng song song với trục tung Ov như hình vẽ. Quãng đường S,người đó chạy được trong 1 giờ 30 phút kể từ lúc bắt đầu chạy bằng x km (kết quả làm tròn đến 2 chữ số,thập phân). Tìm x .,

Question

Giải chi tiết giúp mình Câu 2. Cho tích phân $I=\int\sqrt{a^2-x^2}dx,$ với $a>0.$ Tìm giá trị của $a$ để $I=8\pi.$,Câu 3. Bạn An nhận thiết kế logo hình con mắt (phần được tô đậm trong hình 7) cho một cơ sở y tế.,Logo là hình phẳng giới hạn bởi 2 parabol $y=f(x)$ và $y=g(x)$ như hình 7 (đơn vị trên mỗi trục toạ độ,là dm). Bạn An cần tính diện tích của logo để báo giá cho cơ sở y tế đó trước khi kí hợp đồng. Diện tích của,logo bằng $x~dm^2$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Tìm x.,

,Câu 4. Cho $g(x)=\int^2_0f(t)dt,(0\leq x\leq7)$ trong đó $f(t)$ là hàm số có đồ thị như hình dưới đây.,

,Tính,Câu 5. Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm . Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung,đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô mầu sẫm như hình vẽ bên).,

,Tính diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).,Câu 6. Một người chạy trong 2 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là 1 phần của,đường Parabol với đỉnh $I(1;5)$ và trục đối xứng song song với trục tung Ov như hình vẽ. Quãng đường S,người đó chạy được trong 1 giờ 30 phút kể từ lúc bắt đầu chạy bằng x km (kết quả làm tròn đến 2 chữ số,thập phân). Tìm x .,

Accepted Answer

Câu 2.
Để tính tích phân $ I = \int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx $ và tìm giá trị của $ a $ sao cho $ I = 8\pi $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Nhận biết rằng hàm số $ f(x) = \sqrt{a^2 - x^2} $ là hàm chẵn vì $ f(-x) = f(x) $. Do đó, tích phân từ $-a$ đến $a$ có thể được viết lại như sau:
$$ I = 2 \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx $$

Bước 2: Tính tích phân $ \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx $. Chúng ta sử dụng phương pháp đổi biến số $ x = a \sin t $, do đó $ dx = a \cos t \, dt $.

Khi $ x = 0 $, $ t = 0 $; khi $ x = a $, $ t = \frac{\pi}{2} $.

Do đó, tích phân trở thành:
$$ \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2 t} \cdot a \cos t \, dt $$
$$ = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a \sqrt{1 - \sin^2 t} \cdot a \cos t \, dt $$
$$ = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a^2 \cos^2 t \, dt $$

Bước 3: Tính tích phân $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t \, dt $. Sử dụng công thức hạ bậc:
$$ \cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2} $$

Do đó:
$$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2t}{2} \, dt $$
$$ = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2t) \, dt $$
$$ = \frac{1}{2} \left[ t + \frac{\sin 2t}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} $$
$$ = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 0 - 0 - 0 \right) $$
$$ = \frac{\pi}{4} $$

Bước 4: Kết hợp lại, ta có:
$$ \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = a^2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{a^2 \pi}{4} $$

Bước 5: Vì $ I = 2 \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx $, nên:
$$ I = 2 \cdot \frac{a^2 \pi}{4} = \frac{a^2 \pi}{2} $$

Bước 6: Đặt $ I = 8\pi $:
$$ \frac{a^2 \pi}{2} = 8\pi $$
$$ a^2 = 16 $$
$$ a = 4 \quad (\text{vì } a > 0) $$

Vậy giá trị của $ a $ là $ 4 $.

Câu 3.
Để tính diện tích của logo, ta cần tính diện tích giữa hai parabol $y = f(x)$ và $y = g(x)$ từ điểm giao của chúng.

Bước 1: Xác định phương trình của hai parabol
- Parabol $y = f(x)$ có dạng $y = -x^2 + 4$.
- Parabol $y = g(x)$ có dạng $y = x^2$.

Bước 2: Tìm giao điểm của hai parabol
Đặt $f(x) = g(x)$:
$$-x^2 + 4 = x^2$$
$$4 = 2x^2$$
$$x^2 = 2$$
$$x = \pm \sqrt{2}$$

Vậy hai giao điểm là $(-\sqrt{2}, 2)$ và $(\sqrt{2}, 2)$.

Bước 3: Tính diện tích giữa hai parabol
Diện tích giữa hai parabol từ $x = -\sqrt{2}$ đến $x = \sqrt{2}$ là:
$$A = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} [f(x) - g(x)] \, dx$$
$$= \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} [(-x^2 + 4) - x^2] \, dx$$
$$= \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-2x^2 + 4) \, dx$$

Tính tích phân:
$$A = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 4x \right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$$
$$= \left( -\frac{2(\sqrt{2})^3}{3} + 4\sqrt{2} \right) - \left( -\frac{2(-\sqrt{2})^3}{3} + 4(-\sqrt{2}) \right)$$
$$= \left( -\frac{2 \cdot 2\sqrt{2}}{3} + 4\sqrt{2} \right) - \left( -\frac{2 \cdot (-2\sqrt{2})}{3} - 4\sqrt{2} \right)$$
$$= \left( -\frac{4\sqrt{2}}{3} + 4\sqrt{2} \right) - \left( \frac{4\sqrt{2}}{3} - 4\sqrt{2} \right)$$
$$= -\frac{4\sqrt{2}}{3} + 4\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3} + 4\sqrt{2}$$
$$= -\frac{8\sqrt{2}}{3} + 8\sqrt{2}$$
$$= 8\sqrt{2} - \frac{8\sqrt{2}}{3}$$
$$= \frac{24\sqrt{2}}{3} - \frac{8\sqrt{2}}{3}$$
$$= \frac{16\sqrt{2}}{3}$$

Bước 4: Làm tròn kết quả đến hàng phần mười
$$\frac{16\sqrt{2}}{3} \approx \frac{16 \times 1.414}{3} \approx \frac{22.624}{3} \approx 7.541 \approx 7.5$$

Vậy diện tích của logo là $7.5~dm^2$.

Đáp số: $x = 7.5$

Câu 4.
Để tính $ g(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, dt $ trong khoảng $ 0 \leq x \leq 7 $, ta sẽ chia thành các đoạn dựa trên đồ thị của hàm số $ f(t) $.

1. Từ $ t = 0 $ đến $ t = 2 $:
   - Đồ thị của $ f(t) $ là một đường thẳng đi qua điểm $ (0, 0) $ và $ (2, 2) $. 
   - Phương trình của đường thẳng này là $ f(t) = t $.
   - Do đó, $ g(x) = \int_{0}^{x} t \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{x} = \frac{x^2}{2} $.

2. Từ $ t = 2 $ đến $ t = 4 $:
   - Đồ thị của $ f(t) $ là một đường thẳng đi qua điểm $ (2, 2) $ và $ (4, 0) $.
   - Phương trình của đường thẳng này là $ f(t) = 2 - t $.
   - Do đó, $ g(x) = \int_{0}^{2} t \, dt + \int_{2}^{x} (2 - t) \, dt $.
   - Tính từng phần:
     $$
     \int_{0}^{2} t \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = 2.
     $$
     $$
     \int_{2}^{x} (2 - t) \, dt = \left[ 2t - \frac{t^2}{2} \right]_{2}^{x} = \left( 2x - \frac{x^2}{2} \right) - \left( 2 \cdot 2 - \frac{2^2}{2} \right) = 2x - \frac{x^2}{2} - 2.
     $$
   - Kết hợp lại:
     $$
     g(x) = 2 + 2x - \frac{x^2}{2} - 2 = 2x - \frac{x^2}{2}.
     $$

3. Từ $ t = 4 $ đến $ t = 7 $:
   - Đồ thị của $ f(t) $ là một đường thẳng đi qua điểm $ (4, 0) $ và $ (7, 3) $.
   - Phương trình của đường thẳng này là $ f(t) = t - 4 $.
   - Do đó, $ g(x) = \int_{0}^{2} t \, dt + \int_{2}^{4} (2 - t) \, dt + \int_{4}^{x} (t - 4) \, dt $.
   - Tính từng phần:
     $$
     \int_{0}^{2} t \, dt = 2.
     $$
     $$
     \int_{2}^{4} (2 - t) \, dt = \left[ 2t - \frac{t^2}{2} \right]_{2}^{4} = \left( 2 \cdot 4 - \frac{4^2}{2} \right) - \left( 2 \cdot 2 - \frac{2^2}{2} \right) = 8 - 8 - 2 + 2 = 0.
     $$
     $$
     \int_{4}^{x} (t - 4) \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} - 4t \right]_{4}^{x} = \left( \frac{x^2}{2} - 4x \right) - \left( \frac{4^2}{2} - 4 \cdot 4 \right) = \frac{x^2}{2} - 4x - 8 + 16 = \frac{x^2}{2} - 4x + 8.
     $$
   - Kết hợp lại:
     $$
     g(x) = 2 + 0 + \frac{x^2}{2} - 4x + 8 = \frac{x^2}{2} - 4x + 10.
     $$

Tóm lại, $ g(x) $ được tính như sau:
- Từ $ 0 \leq x < 2 $: $ g(x) = \frac{x^2}{2} $.
- Từ $ 2 \leq x < 4 $: $ g(x) = 2x - \frac{x^2}{2} $.
- Từ $ 4 \leq x \leq 7 $: $ g(x) = \frac{x^2}{2} - 4x + 10 $.

Câu 5.
Để tính diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định diện tích toàn bộ viên gạch:
   Viên gạch hình vuông có cạnh 40 cm.
   Diện tích viên gạch là:
   $$ S_{\text{gạch}} = 40 \times 40 = 1600 \text{ cm}^2 $$

2. Xác định diện tích phần trung tâm (phần không bị tô màu):
   Phần trung tâm là một hình vuông nhỏ hơn, cạnh của nó là khoảng cách từ tâm viên gạch đến điểm giao của các đường parabol.
   Vì các đường parabol chia viên gạch thành 4 phần bằng nhau, nên cạnh của hình vuông trung tâm là:
   $$ 40 - 2 \times 10 = 20 \text{ cm} $$
   Diện tích phần trung tâm là:
   $$ S_{\text{trung tâm}} = 20 \times 20 = 400 \text{ cm}^2 $$

3. Xác định diện tích của 4 cánh hoa:
   Diện tích của 4 cánh hoa là:
   $$ S_{\text{4 cánh}} = S_{\text{gạch}} - S_{\text{trung tâm}} = 1600 - 400 = 1200 \text{ cm}^2 $$

4. Xác định diện tích của mỗi cánh hoa:
   Mỗi cánh hoa chiếm 1/4 diện tích của 4 cánh hoa:
   $$ S_{\text{mỗi cánh}} = \frac{S_{\text{4 cánh}}}{4} = \frac{1200}{4} = 300 \text{ cm}^2 $$

Vậy diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch là 300 cm².

Đáp số: 300 cm²

Câu 6.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định phương trình của đường parabol.
2. Tính quãng đường người đó chạy được trong 1 giờ 30 phút.

Bước 1: Xác định phương trình của đường parabol

Đường parabol có đỉnh $I(1;5)$ và trục đối xứng song song với trục tung Ov. Phương trình của đường parabol có dạng:
$$ y = a(x - h)^2 + k $$
Trong đó, $(h, k)$ là tọa độ đỉnh của parabol. Thay $(h, k) = (1, 5)$ vào phương trình, ta có:
$$ y = a(x - 1)^2 + 5 $$

Ta biết rằng khi $t = 0$, vận tốc $v = 0$. Thay vào phương trình trên:
$$ 0 = a(0 - 1)^2 + 5 $$
$$ 0 = a + 5 $$
$$ a = -5 $$

Vậy phương trình của đường parabol là:
$$ v = -5(t - 1)^2 + 5 $$

Bước 2: Tính quãng đường người đó chạy được trong 1 giờ 30 phút

Quãng đường người đó chạy được trong 1 giờ 30 phút (từ $t = 0$ đến $t = 1,5$) là:
$$ S = \int_{0}^{1,5} v \, dt $$
$$ S = \int_{0}^{1,5} (-5(t - 1)^2 + 5) \, dt $$

Tính tích phân:
$$ S = \int_{0}^{1,5} (-5(t - 1)^2 + 5) \, dt $$
$$ S = \left[ -\frac{5}{3}(t - 1)^3 + 5t \right]_{0}^{1,5} $$

Thay cận vào:
$$ S = \left( -\frac{5}{3}(1,5 - 1)^3 + 5 \cdot 1,5 \right) - \left( -\frac{5}{3}(0 - 1)^3 + 5 \cdot 0 \right) $$
$$ S = \left( -\frac{5}{3}(0,5)^3 + 7,5 \right) - \left( -\frac{5}{3}(-1)^3 \right) $$
$$ S = \left( -\frac{5}{3} \cdot 0,125 + 7,5 \right) - \left( -\frac{5}{3} \cdot (-1) \right) $$
$$ S = \left( -\frac{5}{24} + 7,5 \right) - \left( \frac{5}{3} \right) $$
$$ S = \left( -0,2083 + 7,5 \right) - 1,6667 $$
$$ S = 7,2917 - 1,6667 $$
$$ S = 5,625 $$

Vậy quãng đường người đó chạy được trong 1 giờ 30 phút là 5,63 km (làm tròn đến 2 chữ số thập phân).

Đáp số: $x = 5,63$ km.