Giải nhanh

Câu 19. Xét các khẳng định: A. $$ - Ta biết rằng $$ và $$. - Trong tam giác vuông MNP, cạnh đối với góc N là NP, cạnh kề với góc N là MP, và cạnh huyền là MN. - Do đó, $$ và $$. - Vậy $$. - Điều này không phải lúc nào cũng bằng 1, nên khẳng định A sai. B. $$ - Ta biết rằng $$ và $$. - Trong tam giác vuông MNP, góc M là góc vuông, do đó $$ không xác định (vì cạnh đối với góc vuông là 0). - Mặt khác, $$. - Vì $$ không xác định, nên khẳng định B sai. C. $$ - Ta biết rằng $$ và $$. - Trong tam giác vuông MNP, cạnh đối với góc N là NP, cạnh kề với góc N là MP, và cạnh huyền là MN. - Do đó, $$ và $$. - Vì NP và MP là hai cạnh kề với góc vuông, nên $$. - Vậy khẳng định C đúng. D. $$ - Ta biết rằng $$. - Trong tam giác vuông MNP, $$ và $$. - Vì NP và MP là hai cạnh kề với góc vuông, nên $$. - Vậy khẳng định D đúng. Kết luận: Các khẳng định đúng là C và D. Câu 20. Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định tổng số các số có hai chữ số và số lượng các số chính phương trong khoảng đó. 1. Tổng số các số có hai chữ số: Các số có hai chữ số nằm trong khoảng từ 10 đến 99. Do đó, tổng số các số có hai chữ số là: $$ 2. Xác định các số chính phương có hai chữ số: Các số chính phương là các số bằng bình phương đúng của một số nguyên. Chúng ta sẽ liệt kê các số chính phương có hai chữ số: - $$ - $$ - $$ - $$ - $$ - $$ Như vậy, có 6 số chính phương có hai chữ số. 3. Tính xác suất: Xác suất để chọn ngẫu nhiên một số có hai chữ số là số chính phương là: $$ Vậy, xác suất để số được chọn là số chính phương là $$. Đáp án đúng là: C. $$. Câu 1: 1) Thay tọa độ điểm M vào phương trình hàm số ta có: $$ $$ $$ $$ Vậy $$ thì đồ thị của hàm số đi qua điểm M. 2) Điều kiện xác định: $$ và $$ Ta có: P=$$ $$ $$ $$ $$ $$ 3) Ta có: $$ $$ $$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $$. Câu 2: 1) Với $$ phương trình (1) trở thành: $$ Phương trình này có hai nghiệm phân biệt: $$ 2) Ta thấy $$ không thỏa mãn phương trình (1). Do đó, ta có thể chia cả hai vế của phương trình $$ cho $$ (vì $$): $$ Từ đây, ta có: $$ Sử dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (1), ta có: $$ Thay vào phương trình trên, ta có: $$ Simplifying the above equation, we get: $$ $$ $$ $$ $$ Do $$ là nghiệm của phương trình (1), ta thay vào phương trình (1): $$ Bây giờ, ta sẽ nhân cả hai vế với 9 để loại bỏ mẫu số: $$ Mở ngoặc và thu gọn: $$ $$ Ta thử nghiệm các giá trị của $$ để tìm nghiệm của phương trình này. Ta thử $$: $$ Vậy $$ là nghiệm của phương trình. Ta kiểm tra lại phương trình ban đầu với $$: $$ Phương trình này có hai nghiệm phân biệt $$ và $$. Thay vào điều kiện ban đầu: $$ Do đó, $$ không thỏa mãn điều kiện ban đầu. Ta thử nghiệm các giá trị khác và thấy rằng không có giá trị nào khác thỏa mãn. Vậy không có giá trị của $$ để phương trình (1) có hai nghiệm $$ thỏa mãn điều kiện đã cho. Đáp số: Không có giá trị của $$. Câu 3: 1) Lập bảng tần số tương đối chất lượng không khí tại thành phố A trong 40 ngày đó. | Chất lượng không khí | Số ngày | Tần số tương đối | |----------------------|---------|------------------| | Tốt | 6 | $$ | | Trung bình | 16 | $$ | | Kém | 12 | $$ | | Xỉi | 4 | $$ | | Rất xấu | 2 | $$ | | Nguy hại | 0 | $$ | 2) Tính xác suất của biến cố: "Ngày được chọn ra có chất lượng không khí trung bình hoặc tốt". - Số ngày có chất lượng không khí trung bình hoặc tốt là: 6 + 16 = 22 (ngày). - Xác suất của biến cố này là: $$. Đáp số: 0,55. Câu 4: 1) Ta có $$ nên tứ giác BNMC nội tiếp (cùng chắn cung BC) 2) Ta có $$ (cùng bằng $$) và $$ (cùng bằng $$) nên tam giác HMQ đồng dạng với tam giác HNP(cặp góc đỉnh bằng nhau, 2 cặp góc ở đáy tương ứng bằng nhau) Suy ra $$ Từ đó ta có $$ 3) Ta có $$ (cùng chắn cung BC) và $$ (góc ngoài tam giác IQC bằng tổng 2 góc trong không kề cạnh) nên $$ Ta lại có $$ (tia BI là tia phân giác của góc ABC) nên tam giác ABC đồng dạng với tam giác IBC (góc đỉnh bằng nhau, 1 cặp góc ở đáy tương ứng bằng nhau) Suy ra $$ Mà $$ (tia BI là tia phân giác của góc ABC) nên $$ Từ đó ta có tam giác ABI đồng dạng với tam giác BIO (cặp góc đỉnh bằng nhau, tỉ số 2 cạnh ở 2 tam giác tương ứng bằng nhau) Suy ra $$ Ta lại có $$ (góc BAO nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $$ Suy ra $$ Ta có $$ (góc ngoài tam giác AHB bằng tổng 2 góc trong không kề cạnh) và $$ (góc ở tâm gấp đôi góc nội tiếp cùng chắn 1 cung) nên $$ Mà $$ (2 góc so le trong) nên $$ Suy ra tia IO là tia phân giác của góc BOC Suy ra tam giác BOI vuông cân tại O (góc ở tâm gấp đôi góc nội tiếp cùng chắn 1 cung) Suy ra $$ (cạnh huyền gấp đôi cạnh góc vuông nằm phía trước góc 30 độ) Câu 5: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và các tính chất của các biểu thức liên quan. Đầu tiên, ta xét từng thành phần của biểu thức $$: 1. Xét biểu thức $$: - Ta thấy rằng $$ và $$ đều là các số thực dương, do đó $$ cũng là số thực dương lớn hơn 1. - Do đó, $$ luôn dương và giảm dần khi $$ tăng lên. 2. Xét biểu thức $$: - Ta thấy rằng $$ là số thực dương, do đó $$ cũng là số thực dương lớn hơn 1. - Do đó, $$ luôn dương và giảm dần khi $$ tăng lên. 3. Xét biểu thức $$: - Ta thấy rằng $$ là số thực dương, do đó $$ cũng là số thực dương lớn hơn 1. - Do đó, $$ luôn dương và lớn hơn 1. Bây giờ, ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$ bằng cách sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho các biểu thức: $$ Do đó: $$ Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$. Xét trường hợp $$: $$ Do đó: $$ $$ Tuy nhiên, ta cần kiểm tra lại để đảm bảo rằng giá trị nhỏ nhất của $$ là đúng. Ta thấy rằng khi $$, biểu thức $$ đạt giá trị nhỏ nhất là: $$ Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$ là: $$