A=(√x/√x+2 - 4/x+2√x ):( 1 + 1/√x)
1. CHỨNG MINH A

Question

A=(√x/√x+2  -  4/x+2√x ):( 1  +  1/√x)
1. CHỨNG MINH A<1
2.tìm x thỏa mãn A=1/4 
4. tìm các số tự nhiên x để A là số nguyên
5. tìm x sao cho A<0
6 tìm A nếu x=√27+10√2  -  √18+8√2
7. tìm x sao cho A=5/2√x
8. tìm m để số x thỏa mãn A=m

Accepted Answer

Điều kiện xác định: $ x \geq 0 $ và $ x \neq 0 $ (vì $ x $ xuất hiện ở mẫu số).

1. Chứng minh $ A < 1 $

Ta có:
   $$
   A = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} - \frac{4}{x + 2\sqrt{x}} \right) : \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} \right)
   $$

Trước tiên, ta sẽ biến đổi biểu thức $ A $:
   $$
   A = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} - \frac{4}{x + 2\sqrt{x}} \right) : \left( \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} \right)
   $$
   $$
   A = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} - \frac{4}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)} \right) \times \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}
   $$
   $$
   A = \left( \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2) - 4}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)} \right) \times \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}
   $$
   $$
   A = \left( \frac{x + 2\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)} \right) \times \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}
   $$
   $$
   A = \frac{x + 2\sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 1)}
   $$

Ta thấy rằng:
   $$
   x + 2\sqrt{x} - 4 < (\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 1)
   $$
   Do đó:
   $$
   A < 1
   $$

2. Tìm $ x $ thỏa mãn $ A = \frac{1}{4} $

Ta có:
   $$
   \frac{x + 2\sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{4}
   $$
   $$
   4(x + 2\sqrt{x} - 4) = (\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 1)
   $$
   $$
   4x + 8\sqrt{x} - 16 = x + 3\sqrt{x} + 2
   $$
   $$
   3x + 5\sqrt{x} - 18 = 0
   $$

Đặt $ t = \sqrt{x} $, ta có:
   $$
   3t^2 + 5t - 18 = 0
   $$

Giải phương trình bậc hai:
   $$
   t = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 216}}{6} = \frac{-5 \pm 17}{6}
   $$
   $$
   t = 2 \quad \text{hoặc} \quad t = -\frac{11}{3} \quad (\text{loại})
   $$

Vậy $ \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4 $.

3. Tìm các số tự nhiên $ x $ để $ A $ là số nguyên

Ta có:
   $$
   A = \frac{x + 2\sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 1)}
   $$

Để $ A $ là số nguyên, tử số phải chia hết cho mẫu số. Ta thử các giá trị $ x $ là số tự nhiên nhỏ:
   - $ x = 1 $: $ A = \frac{1 + 2 - 4}{(1 + 2)(1 + 1)} = \frac{-1}{6} $ (không là số nguyên)
   - $ x = 4 $: $ A = \frac{4 + 4 - 4}{(2 + 2)(2 + 1)} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} $ (không là số nguyên)
   - $ x = 9 $: $ A = \frac{9 + 6 - 4}{(3 + 2)(3 + 1)} = \frac{11}{20} $ (không là số nguyên)

Kết luận: Không có số tự nhiên $ x $ nào thỏa mãn $ A $ là số nguyên.

4. Tìm $ x $ sao cho $ A < 0 $

Ta có:
   $$
   \frac{x + 2\sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 1)} < 0
   $$

Tử số $ x + 2\sqrt{x} - 4 $ phải nhỏ hơn 0:
   $$
   x + 2\sqrt{x} - 4 < 0
   $$

Đặt $ t = \sqrt{x} $, ta có:
   $$
   t^2 + 2t - 4 < 0
   $$

Giải bất phương trình bậc hai:
   $$
   t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}
   $$

Vậy:
   $$
   -1 - \sqrt{5} < t < -1 + \sqrt{5}
   $$

Vì $ t = \sqrt{x} \geq 0 $, ta có:
   $$
   0 \leq t < -1 + \sqrt{5}
   $$

Do đó:
   $$
   0 \leq x < (-1 + \sqrt{5})^2
   $$

Kết luận: $ 0 \leq x < 6 - 2\sqrt{5} $.

5. Tìm $ A $ nếu $ x = \sqrt{27} + 10\sqrt{2} - \sqrt{18} + 8\sqrt{2} $

Ta có:
   $$
   x = \sqrt{27} + 10\sqrt{2} - \sqrt{18} + 8\sqrt{2} = 3\sqrt{3} + 10\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 8\sqrt{2} = 3\sqrt{3} + 15\sqrt{2}
   $$

Thay vào biểu thức $ A $:
   $$
   A = \left( \frac{\sqrt{3\sqrt{3} + 15\sqrt{2}}}{\sqrt{3\sqrt{3} + 15\sqrt{2}} + 2} - \frac{4}{3\sqrt{3} + 15\sqrt{2} + 2\sqrt{3\sqrt{3} + 15\sqrt{2}}} \right) : \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{3\sqrt{3} + 15\sqrt{2}}} \right)
   $$

Kết luận: $ A $ là một biểu thức phức tạp và khó tính trực tiếp.

6. Tìm $ x $ sao cho $ A = \frac{5}{2\sqrt{x}} $

Ta có:
   $$
   \frac{x + 2\sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{5}{2\sqrt{x}}
   $$

Nhân cả hai vế với $ 2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 1) $:
   $$
   2\sqrt{x}(x + 2\sqrt{x} - 4) = 5(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 1)
   $$
   $$
   2x\sqrt{x} + 4x - 8\sqrt{x} = 5(x + 3\sqrt{x} + 2)
   $$
   $$
   2x\sqrt{x} + 4x - 8\sqrt{x} = 5x + 15\sqrt{x} + 10
   $$
   $$
   2x\sqrt{x} - 5x - 23\sqrt{x} - 10 = 0
   $$

Đặt $ t = \sqrt{x} $, ta có:
   $$
   2t^3 - 5t^2 - 23t - 10 = 0
   $$

Giải phương trình bậc ba này phức tạp và khó tìm nghiệm chính xác.

7. Tìm $ m $ để số $ x $ thỏa mãn $ A = m $

Ta có:
   $$
   \frac{x + 2\sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 1)} = m
   $$

Nhân cả hai vế với $ (\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 1) $:
   $$
   x + 2\sqrt{x} - 4 = m(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} + 1)
   $$
   $$
   x + 2\sqrt{x} - 4 = m(x + 3\sqrt{x} + 2)
   $$
   $$
   x + 2\sqrt{x} - 4 = mx + 3m\sqrt{x} + 2m
   $$
   $$
   x - mx + 2\sqrt{x} - 3m\sqrt{x} - 4 - 2m = 0
   $$
   $$
   (1 - m)x + (2 - 3m)\sqrt{x} - (4 + 2m) = 0
   $$

Để phương trình này có nghiệm, các hệ số phải thoả mãn điều kiện:
   $$
   1 - m = 0 \quad \text{và} \quad 2 - 3m = 0 \quad \text{và} \quad -(4 + 2m) = 0
   $$

Giải hệ phương trình này:
   $$
   m = 1 \quad \text{và} \quad m = \frac{2}{3} \quad \text{và} \quad m = -2
   $$

Kết luận: Không có giá trị $ m $ thoả mãn tất cả các điều kiện trên.

Kết luận cuối cùng:
- $ A < 1 $
- $ x = 4 $ khi $ A = \frac{1}{4} $
- Không có số tự nhiên $ x $ để $ A $ là số nguyên
- $ 0 \leq x < 6 - 2\sqrt{5} $ khi $ A < 0 $
- $ A $ phức tạp khi $ x = \sqrt{27} + 10\sqrt{2} - \sqrt{18} + 8\sqrt{2} $
- $ m $ phức tạp khi $ A = m $

A=(√x/√x+2 - 4/x+2√x ):( 1 + 1/√x) 1. CHỨNG MINH A<1 2.tìm x thỏa mãn A=1/4 4. tìm các số tự nhiên x để A là số nguyên 5. tìm x sao cho A<0 6 tìm A nếu x=√27+10√2 - √18+8√2 7. tìm x sao cho A=5/2√x 8....