Cho tam giác ABC có các trung tuyến BD và CE . Trên cạnh BC lấy các điểm M N, sao cho BM = MN = NC. Gọi I là giao điểm của AM và BD , K là giao điểm của
AN và CE . Chứng minh rằng:
a) BCDE là hình thang.
b) K là trung điểm của EC.
c) BC = 4IK

Question

Accepted Answer

a) Vì $B D$ và $C F$ là trung tuyến nên $E D$ là đường trung bình của tam giác $A B C(E, D$ lần lượt là trung điểm $A B, A C)$

Suy ra: $E D / / B C \Rightarrow E D C B$ là hình thang
b) Trong tam giác $A B N$ có $E, M$ là trung điểm của $A B$ và $B N$ (do $B M=M N=N C$ )
$\Rightarrow E M$ là đường trung bình của $ riangle A B N$
$\Rightarrow \mathrm{EM} / / \mathrm{AN} \Rightarrow \mathrm{EM} / / \mathrm{KN}$
Trong $ riangle \mathrm{EMC}$ có N là trung điểm của CM vì $\mathrm{MN}=\mathrm{NC}$ và $\mathrm{NK} / / \mathrm{EM}$
$\Rightarrow \mathrm{K}$ là trung điểm của CE
c) Tương tự: Trong $ riangle \mathrm{BDN}$ có M là trung điểm BN và $\mathrm{MI} / / \mathrm{DN}$

Suy ra: MI là đường trung bình của tam giác BDN
$\Rightarrow$ I là trung điểm $B D$.
Trong hình thang $B E D C$ có $I K$ là đoạn nối trung điểm của hai đường chéo nên:

$$
\begin{aligned}
& I K=\frac{B C-D E}{2}=\frac{2 D E-D E}{2}=\frac{D E}{2} \
& \Rightarrow 2 I K=D E \Rightarrow 4 I K=2 D E=B C
\end{aligned}
$$
Vậy $4 I K=B C$.

Cho tam giác ABC có các trung tuyến BD và CE . Trên cạnh BC lấy các điểm M N, sao cho BM = MN = NC. Gọi I là giao điểm của AM và BD , K là giao điểm của AN và CE . Chứng minh rằng: a) BCDE là hình than...