điểm) Cho ∆ABC nhọn (AB

Question

điểm) Cho ∆ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp (O;R) có hai đường cao BE và AF cắt nhau tại H. Về đường kính AD của đường tròn (O). Qua H về đường thẳng d vuông góc AD tại K, d cắt AB, AC và đường thẳng BC lần lượt tại M, N và S.

a) Chứng minh: 4 điểm A, E, H, K cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này.

b) Chứng minh: tam giác AKM đồng dạng với tam giácABD và SM.SN = SB.SC.

Accepted Answer

a)
Tam giác ABC có đường cao BE ⟹ BE$\displaystyle \bot $AC $\displaystyle \Longrightarrow \widehat{AEB} =90^{0}$ hay $\displaystyle \widehat{AEH} =90^{0}$
Có: HK$\displaystyle \bot $AD ⟹ $\displaystyle \widehat{HKA} =\widehat{HKD} =90^{0}$
Xét tứ giác AEKH, có:
$\displaystyle \widehat{AEH} =\widehat{HKA} =90^{0}$
mà hai góc này cùng nhìn cạnh AH
⟹ Tứ giác AEKH nội tiếp đường tròn đường kính AH
⟹ I là trung điểm AH
b)
Tam giác ABD nội tiếp đường tròn đường kính AD ⟹ Tam giác ABD vuông tại B
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{ABD} =90^{0}$
Xét $\displaystyle riangle AKM$ và $\displaystyle riangle ABD$, có:
$\displaystyle \hat{A}$ chung
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\widehat{AKM} =\widehat{ABD} =90^{0}\
\Longrightarrow riangle AKM\backsim riangle ABD\ ( g-g)\
\Longrightarrow \widehat{AMK} =\widehat{ADB}
\end{array}$
mà $\displaystyle \widehat{AMK} =\widehat{SMB}$ (đối đỉnh), $\displaystyle \widehat{ADB} =\widehat{NCS}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{SMB} =\widehat{NCS}$
Xét $\displaystyle riangle SMB$ và $\displaystyle riangle SCN$, có:
$\displaystyle \hat{S}$ chung
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\widehat{SMB} =\widehat{SCN}\
\Longrightarrow riangle SMB\backsim riangle SCN\ ( g-g)\
\Longrightarrow \frac{SM}{SC} =\frac{SB}{SN}\
\Longrightarrow SM.SN=SB.SC
\end{array}$

điểm) Cho ∆ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp (O;R) có hai đường cao BE và AF cắt nhau tại H. Về đường kính AD của đường tròn (O). Qua H về đường thẳng d vuông góc AD tại K, d cắt AB, AC và đường thẳng BC lần l...