Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = $\frac{x^2-9}{x^2+3}$

Question

Accepted Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ B = \frac{x^2 - 9}{x^2 + 3} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Rút gọn biểu thức:
   Ta có thể viết lại biểu thức $ B $ dưới dạng:
   $$
   B = \frac{x^2 - 9}{x^2 + 3}
   $$
   Ta thấy rằng $ x^2 - 9 $ là một hiệu hai bình phương, do đó:
   $$
   x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
   $$
   Vì vậy, biểu thức $ B $ trở thành:
   $$
   B = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x^2 + 3}
   $$

2. Phân tích biểu thức:
   Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ B $, ta cần xem xét biểu thức này dưới góc độ của các giá trị $ x $. Ta sẽ biến đổi biểu thức $ B $ thành dạng dễ dàng hơn để phân tích:
   $$
   B = \frac{x^2 - 9}{x^2 + 3} = \frac{x^2 + 3 - 12}{x^2 + 3} = 1 - \frac{12}{x^2 + 3}
   $$

3. Xét giá trị của $ \frac{12}{x^2 + 3} $:
   Ta thấy rằng $ x^2 + 3 \geq 3 $ vì $ x^2 \geq 0 $ với mọi $ x $. Do đó, $ \frac{12}{x^2 + 3} \leq \frac{12}{3} = 4 $. Giá trị nhỏ nhất của $ \frac{12}{x^2 + 3} $ là 0 khi $ x^2 \to \infty $.

4. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ B $:
   Khi $ \frac{12}{x^2 + 3} $ đạt giá trị lớn nhất là 4, biểu thức $ B $ sẽ đạt giá trị nhỏ nhất:
   $$
   B = 1 - \frac{12}{x^2 + 3}
   $$
   Giá trị nhỏ nhất của $ B $ xảy ra khi $ \frac{12}{x^2 + 3} $ đạt giá trị lớn nhất, tức là:
   $$
   B_{min} = 1 - 4 = -3
   $$

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ B $ là $-3$, đạt được khi $ x \to \infty $ hoặc $ x \to -\infty $.

Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của $ B $ là $-3$.