tính chất tứ diện vuông

Question

Accepted Answer

Tứ diện vuông là một tứ diện có ba mặt phẳng đáy vuông góc với nhau tại một đỉnh. Ta sẽ chứng minh tính chất của tứ diện vuông thông qua các bước sau:

1. Xác định các đỉnh và mặt phẳng của tứ diện:
   Gọi tứ diện là ABCD, trong đó đỉnh D là đỉnh vuông, tức là các mặt phẳng ABD, BCD và CAD đều vuông góc với nhau tại đỉnh D.

2. Chứng minh tính chất trực giao:
   Vì các mặt phẳng ABD, BCD và CAD đều vuông góc với nhau tại đỉnh D, nên ta có:
   - AD vuông góc với BD (vì ABD là mặt phẳng vuông góc với BCD tại BD)
   - BD vuông góc với CD (vì BCD là mặt phẳng vuông góc với CAD tại CD)
   - CD vuông góc với AD (vì CAD là mặt phẳng vuông góc với ABD tại AD)

3. Diện tích các mặt phẳng đáy:
   Diện tích của các mặt phẳng đáy của tứ diện vuông có thể được tính dựa trên các cạnh vuông góc với nhau:
   - Diện tích mặt phẳng ABD: $\frac{1}{2} \times AD \times BD$
   - Diện tích mặt phẳng BCD: $\frac{1}{2} \times BD \times CD$
   - Diện tích mặt phẳng CAD: $\frac{1}{2} \times CD \times AD$

4. Thể tích của tứ diện vuông:
   Thể tích của tứ diện vuông có thể được tính bằng công thức:
   $$
   V = \frac{1}{6} \times AD \times BD \times CD
   $$

5. Tính chất trực giao của các đường cao:
   Các đường cao hạ từ đỉnh D xuống các mặt phẳng đáy cũng vuông góc với nhau:
   - Đường cao hạ từ D xuống mặt phẳng ABC (gọi là đường cao DH) sẽ vuông góc với cả ba cạnh AB, BC và CA.

Như vậy, tính chất của tứ diện vuông đã được chứng minh thông qua các bước trên.