Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Câu 5. (2,0 điểm): Cho các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn $a^3-b^3-c^3=abc$ và,$a^2=2(b+c).$ Tính giá trị của biểu thức $T=a^3+b^{2023}+c^{2024}$

Question

Accepted Answer

Câu 5.
Ta có:
$a^3-b^3-c^3=abc$
$\Rightarrow a^3=b^3+c^3+abc$
$\Rightarrow a	imes a^2=(b+c)	imes (b^2-b	imes c+c^2)+a	imes b	imes c$
$\Rightarrow 2	imes (b+c)	imes a=(b+c)	imes (b^2-b	imes c+c^2)+a	imes b	imes c$ (vì $a^2=2	imes (b+c))$
$\Rightarrow 2	imes a=(b^2-b	imes c+c^2)+a	imes c$ (chia cả 2 vế cho $(b+c))$
$\Rightarrow 2	imes a=(b-c)^2+a	imes c$ (vì $b^2-2	imes b	imes c+c^2=(b-c)^2)$
$\Rightarrow 2	imes a-a	imes c=(b-c)^2$ (cùng bớt đi $a	imes c)$
$\Rightarrow a	imes (2-c)=(b-c)^2$ (Nhóm các hạng tử có chứa a)
Vì $(b-c)^2$ là số chia hết cho a nên $2-c$ phải chia hết cho a.
Mà a là số nguyên dương nên $2-c$ phải là số tự nhiên.
Suy ra $c=1$ hoặc $c=2.$
- Nếu $c=1$ thì $a	imes 1=(b-1)^2$ hay $a=(b-1)^2.$
Thay vào $a^2=2	imes (b+c)$ ta được:
$(b-1)^4=2	imes (b+1)$
$\Rightarrow b=2$ (loại vì $b=2$ thì $a=1)$
- Nếu $c=2$ thì $a	imes 0=(b-2)^2$ hay $(b-2)^2=0.$
$\Rightarrow b=2.$
Thay vào $a^2=2	imes (b+c)$ ta được:
$a^2=2	imes (2+2)=8$ (loại vì 8 không là số chính phương)
Vậy $a=1,b=1,c=1.$
Do đó $T=1^3+1^{2023}+1^{2024}=3.$