Giải hộ mình câu này với các bạn Cho dãy số $\{a_n\}$ xác định bởi:,$a_1=1,~a_2=1,~a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+(-1)^n.n^n,~\forall n\geq3.$,1. Chứng minh rằng dãy số $\{a_n\}$ có vô hạn số nguyên tố.,2. Tìm giới hạn của dãy số $\frac{a_n}{n^n}$ khi $n\rightarrow\infty.$,3. Chứng minh rằng phương trình $a_n=2024$ có vô hạn nghiệm nguyên dương n.

Question

Accepted Answer

1. Ta có $a_{2n}=a_{2n-1}+a_{2n-2}-(2n)^{2n},~a_{2n+1}=a_{2n}+a_{2n-1}+(2n+1)^{2n+1}.$ 
Suy ra $a_{2n+1}-a_{2n-1}=a_{2n-1}+(2n+1)^{2n+1}-(2n)^{2n}.$ 
Từ đó ta có $a_{2n+1}-a_{2n-1}\geq 2n+1.$ 
Suy ra $a_{2n+1}-a_{2n-1}\geq 2n+1.$ 
Vậy dãy số $\{a_n\}$ có vô hạn số nguyên tố.
2. Ta có $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+(-1)^n.n^n.$ 
Chia cả 2 vế cho $n^n$ ta được $\frac{a_n}{n^n}=\frac{a_{n-1}}{n^n}+\frac{a_{n-2}}{n^n}+(-1)^n.$ 
Suy ra $\lim_{n	o\infty}\frac{a_n}{n^n}=0.$ 
Vậy $\lim_{n	o\infty}\frac{a_n}{n^n}=0.$
3. Ta có $a_{2n}=a_{2n-1}+a_{2n-2}-(2n)^{2n},~a_{2n+1}=a_{2n}+a_{2n-1}+(2n+1)^{2n+1}.$ 
Suy ra $a_{2n+1}-a_{2n-1}=a_{2n-1}+(2n+1)^{2n+1}-(2n)^{2n}.$ 
Từ đó ta có $a_{2n+1}-a_{2n-1}\geq 2n+1.$ 
Suy ra $a_{2n+1}-a_{2n-1}\geq 2n+1.$ 
Vậy phương trình $a_n=2024$ có vô hạn nghiệm nguyên dương n.