Giúp mình với! $M=\frac1{1.4}+\frac2{4.10}+\frac3{10.19}+\frac4{19.31}$ và $N=\frac2{1.5}+\frac3{5.11}+\frac4{11.19}+\frac5{19.29}+\frac6{29.41}$,So sánh M và N.

Question

Accepted Answer

Để so sánh M và N, chúng ta sẽ tìm cách biến đổi các phân số trong M và N thành dạng có thể dễ dàng so sánh hơn.

Nhận thấy rằng các phân số trong M và N đều có dạng $\frac{k}{a \cdot b}$, trong đó k là số tự nhiên và a, b là các số tự nhiên liên tiếp hoặc gần liên tiếp.

Chúng ta sẽ biến đổi từng phân số trong M và N thành dạng có thể dễ dàng so sánh hơn.

Xét M:
$$ M = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{2}{4 \cdot 10} + \frac{3}{10 \cdot 19} + \frac{4}{19 \cdot 31} $$

Xét N:
$$ N = \frac{2}{1 \cdot 5} + \frac{3}{5 \cdot 11} + \frac{4}{11 \cdot 19} + \frac{5}{19 \cdot 29} + \frac{6}{29 \cdot 41} $$

Chúng ta sẽ biến đổi từng phân số trong M và N thành dạng có thể dễ dàng so sánh hơn bằng cách sử dụng phương pháp phân tích phân số.

Xét M:
$$ M = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{2}{4 \cdot 10} + \frac{3}{10 \cdot 19} + \frac{4}{19 \cdot 31} $$
$$ = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{10} \right) + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{10} - \frac{1}{19} \right) + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{19} - \frac{1}{31} \right) $$
$$ = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{10} + \frac{1}{10} - \frac{1}{19} + \frac{1}{19} - \frac{1}{31} \right) $$
$$ = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{31} \right) $$
$$ = \frac{1}{3} \cdot \frac{30}{31} $$
$$ = \frac{10}{31} $$

Xét N:
$$ N = \frac{2}{1 \cdot 5} + \frac{3}{5 \cdot 11} + \frac{4}{11 \cdot 19} + \frac{5}{19 \cdot 29} + \frac{6}{29 \cdot 41} $$
$$ = \frac{1}{4} \left( \frac{2}{1} - \frac{2}{5} \right) + \frac{1}{4} \left( \frac{3}{5} - \frac{3}{11} \right) + \frac{1}{4} \left( \frac{4}{11} - \frac{4}{19} \right) + \frac{1}{4} \left( \frac{5}{19} - \frac{5}{29} \right) + \frac{1}{4} \left( \frac{6}{29} - \frac{6}{41} \right) $$
$$ = \frac{1}{4} \left( 2 - \frac{2}{5} + \frac{3}{5} - \frac{3}{11} + \frac{4}{11} - \frac{4}{19} + \frac{5}{19} - \frac{5}{29} + \frac{6}{29} - \frac{6}{41} \right) $$
$$ = \frac{1}{4} \left( 2 - \frac{6}{41} \right) $$
$$ = \frac{1}{4} \cdot \frac{76}{41} $$
$$ = \frac{19}{41} $$

Bây giờ, chúng ta so sánh hai kết quả:
$$ \frac{10}{31} \quad \text{và} \quad \frac{19}{41} $$

Ta thấy rằng:
$$ \frac{10}{31} < \frac{19}{41} $$

Vậy, M < N.

Đáp số: M < N.