Cứuuuuuuuuuu Bài II. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức $A=\frac1{\sqrt x-2}$ và $B=\frac{\sqrt x}{\sqrt x-2}-\frac8{x-4}-1$ với,$x\geq0,~x
e4.$,1) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=9.$,2) Chứng minh $B=\frac2{\sqrt x+2}.$,3) Xét biểu thức $P=\frac A2+\frac1B.$ Tìm tất cả các giá trị của x để $P\leq3.$

Question

Accepted Answer

Bài II.
Điều kiện xác định: $ x \geq 0, x \neq 4 $.

1) Tính giá trị của biểu thức $ A $ khi $ x = 9 $:
$$ A = \frac{1}{\sqrt{9} - 2} = \frac{1}{3 - 2} = \frac{1}{1} = 1 $$

2) Chứng minh $ B = \frac{2}{\sqrt{x} + 2} $:
$$ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} - \frac{8}{x - 4} - 1 $$
$$ B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} - \frac{8}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} - 1 $$
$$ B = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2) - 8 - (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} $$
$$ B = \frac{x + 2\sqrt{x} - 8 - (x - 4)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} $$
$$ B = \frac{x + 2\sqrt{x} - 8 - x + 4}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} $$
$$ B = \frac{2\sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} $$
$$ B = \frac{2(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} $$
$$ B = \frac{2}{\sqrt{x} + 2} $$

3) Xét biểu thức $ P = \frac{A}{2} + \frac{1}{B} $. Tìm tất cả các giá trị của $ x $ để $ P \leq 3 $:
$$ P = \frac{A}{2} + \frac{1}{B} $$
$$ P = \frac{\frac{1}{\sqrt{x} - 2}}{2} + \frac{1}{\frac{2}{\sqrt{x} + 2}} $$
$$ P = \frac{1}{2(\sqrt{x} - 2)} + \frac{\sqrt{x} + 2}{2} $$
$$ P = \frac{1 + (\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)}{2(\sqrt{x} - 2)} $$
$$ P = \frac{1 + x - 4}{2(\sqrt{x} - 2)} $$
$$ P = \frac{x - 3}{2(\sqrt{x} - 2)} $$

Yêu cầu $ P \leq 3 $:
$$ \frac{x - 3}{2(\sqrt{x} - 2)} \leq 3 $$
$$ x - 3 \leq 6(\sqrt{x} - 2) $$
$$ x - 3 \leq 6\sqrt{x} - 12 $$
$$ x + 9 \leq 6\sqrt{x} $$
$$ x + 9 - 6\sqrt{x} \leq 0 $$
$$ (\sqrt{x} - 3)^2 \leq 0 $$

Vì $ (\sqrt{x} - 3)^2 \leq 0 $ chỉ đúng khi $ \sqrt{x} - 3 = 0 $, tức là:
$$ \sqrt{x} = 3 $$
$$ x = 9 $$

Vậy giá trị của $ x $ để $ P \leq 3 $ là $ x = 9 $.