Giup minh vs a Câu 11. (1 điểm) Cho phương trình : $x^2-(m-1)x+m-2=0.$ ( với m tham số).,Tìm m để phương trình có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn: $x^3_1+x_2-12m+7=0$

Question

Accepted Answer

Câu 11.
Để phương trình $x^2 - (m-1)x + m - 2 = 0$ có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$, ta cần điều kiện $\Delta \geq 0$.

Tính $\Delta$:
$$
\Delta = (m-1)^2 - 4(m-2) = m^2 - 2m + 1 - 4m + 8 = m^2 - 6m + 9 = (m-3)^2
$$
Vì $(m-3)^2 \geq 0$ luôn đúng, nên phương trình luôn có hai nghiệm thực.

Theo định lý Vi-et, ta có:
$$
x_1 + x_2 = m - 1
$$
$$
x_1 x_2 = m - 2
$$

Ta cần tìm $m$ sao cho $x_1^3 + x_2 - 12m + 7 = 0$. Ta sẽ biến đổi biểu thức này dựa trên các mối liên hệ đã biết.

Nhân $x_1^3 + x_2 - 12m + 7 = 0$ với $x_1$:
$$
x_1(x_1^3 + x_2 - 12m + 7) = 0
$$
$$
x_1^4 + x_1 x_2 - 12mx_1 + 7x_1 = 0
$$

Biến đổi $x_1^4$:
$$
x_1^4 = (x_1^2)^2 = [(m-1)x_1 - (m-2)]^2
$$

Thay vào:
$$
[(m-1)x_1 - (m-2)]^2 + x_1 x_2 - 12mx_1 + 7x_1 = 0
$$

Biến đổi tiếp:
$$
(m-1)^2 x_1^2 - 2(m-1)(m-2)x_1 + (m-2)^2 + x_1 x_2 - 12mx_1 + 7x_1 = 0
$$

Thay $x_1^2 = (m-1)x_1 - (m-2)$ vào:
$$
(m-1)^2 [(m-1)x_1 - (m-2)] - 2(m-1)(m-2)x_1 + (m-2)^2 + x_1 x_2 - 12mx_1 + 7x_1 = 0
$$

Sắp xếp lại:
$$
(m-1)^3 x_1 - (m-1)^2 (m-2) - 2(m-1)(m-2)x_1 + (m-2)^2 + x_1 x_2 - 12mx_1 + 7x_1 = 0
$$

Gộp các hạng tử có $x_1$:
$$
[(m-1)^3 - 2(m-1)(m-2) - 12m + 7]x_1 - (m-1)^2 (m-2) + (m-2)^2 + x_1 x_2 = 0
$$

Do $x_1$ và $x_2$ là nghiệm của phương trình ban đầu, ta có thể thay $x_1 x_2 = m - 2$ vào:
$$
[(m-1)^3 - 2(m-1)(m-2) - 12m + 7]x_1 - (m-1)^2 (m-2) + (m-2)^2 + m - 2 = 0
$$

Phân tích và giải phương trình này phức tạp, nhưng ta có thể kiểm tra các giá trị cụ thể của $m$ để tìm nghiệm. Thử $m = 3$:
$$
x_1 + x_2 = 3 - 1 = 2
$$
$$
x_1 x_2 = 3 - 2 = 1
$$

Giải phương trình bậc hai:
$$
x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2 = 1
$$

Kiểm tra điều kiện:
$$
1^3 + 1 - 12 \cdot 3 + 7 = 1 + 1 - 36 + 7 = -27 \neq 0
$$

Do đó, $m = 3$ không thỏa mãn. Kiểm tra các giá trị khác hoặc sử dụng phương pháp khác để tìm $m$ chính xác.