Cho số phức $z$ và số phức $w=(z-i)(\bar{z}+i)+2 z-3 i$ thỏa mãn $\left|w-i^{2022}\right|-\left|i^{2023} \cdot \bar{w}-1\right|=0$ Giá trị lớn nhất của biểu thức...

Đầu tiên, ta tính $i^{2022}$ và $i^{2023}$: \[ i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1 \] \[ i^{2022} = (i^4)^{505} \cdot i^2 = 1^{505} \cdot (-1) = -1 \] \[ i^{2023} = (i^4)^{505} \cdot i^3 = 1^{505} \cdot (-i) = -i \] Do đó, ta có: \[ |w - i^{2022}| - |i^{2023} \cdot \bar{w} - 1| = 0 \] \[ |w + 1| - |-i \cdot \bar{w} - 1| = 0 \] \[ |w + 1| = |\bar{w} + i| \] Bây giờ, ta xét số phức $w = (z - i)(\bar{z} + i) + 2z - 3i$. Gọi $z = x + yi$, với $x, y \in \mathbb{R}$, thì $\bar{z} = x - yi$. Thay vào ta có: \[ w = ((x + yi) - i)((x - yi) + i) + 2(x + yi) - 3i \] \[ w = (x + (y-1)i)(x - (y-1)i) + 2x + 2yi - 3i \] \[ w = x^2 + (y-1)^2 + 2x + (2y - 3)i \] Ta thấy rằng $w$ có phần thực là $x^2 + (y-1)^2 + 2x$ và phần ảo là $2y - 3$. Do đó: \[ |w + 1| = |(x^2 + (y-1)^2 + 2x + 1) + (2y - 3)i| \] \[ |\bar{w} + i| = |(x^2 + (y-1)^2 + 2x) + (3 - 2y)i| \] Vì $|w + 1| = |\bar{w} + i|$, ta suy ra: \[ x^2 + (y-1)^2 + 2x + 1 = x^2 + (y-1)^2 + 2x \] \[ 2y - 3 = -(3 - 2y) \] \[ 2y - 3 = -3 + 2y \] Điều này luôn đúng, do đó ta có thể tiếp tục với biểu thức $T$: \[ T = |z - 3 + i|^2 + |\bar{z} + 1 - 3i|^2 \] \[ T = |(x + yi) - 3 + i|^2 + |(x - yi) + 1 - 3i|^2 \] \[ T = |(x - 3) + (y + 1)i|^2 + |(x + 1) - (y + 3)i|^2 \] \[ T = (x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (x + 1)^2 + (y + 3)^2 \] \[ T = (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 2y + 1) + (x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 6y + 9) \] \[ T = 2x^2 + 2y^2 - 4x + 8y + 20 \] Để tìm giá trị lớn nhất của $T$, ta sử dụng phương pháp đạo hàm: \[ f(x, y) = 2x^2 + 2y^2 - 4x + 8y + 20 \] \[ \frac{\partial f}{\partial x} = 4x - 4 = 0 \Rightarrow x = 1 \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = 4y + 8 = 0 \Rightarrow y = -2 \] Thay $x = 1$ và $y = -2$ vào $f(x, y)$: \[ f(1, -2) = 2(1)^2 + 2(-2)^2 - 4(1) + 8(-2) + 20 \] \[ f(1, -2) = 2 + 8 - 4 - 16 + 20 \] \[ f(1, -2) = 10 \] Do đó, giá trị lớn nhất của $T$ là $10$. Ta có $m = 10$ và $n = 0$, nên: \[ P = m \cdot n = 10 \cdot 0 = 0 \] Đáp số: $P = 0$.