Cho số phức $z$ và số phức $w=(z-i)(\bar{z}+i)+2 z-3 i$ thỏa mãn
$\left|w-i^{2022} ight|-\left|i^{2023} \cdot \bar{w}-1 ight|=0$
Giá trị lớn nhất của biểu thức
$T=|z-3+i|^2+|\bar{z}+1-3 i|^2 ext { bằng } m+n \sqrt{5}$
với $m, n \in R$. Tính $P=m . n$

Question

Cho số phức $z$ và số phức $w=(z-i)(\bar{z}+i)+2 z-3 i$ thỏa mãn
$\left|w-i^{2022}ight|-\left|i^{2023} \cdot \bar{w}-1ight|=0$
Giá trị lớn nhất của biểu thức
$T=|z-3+i|^2+|\bar{z}+1-3 i|^2 	ext { bằng } m+n \sqrt{5}$
với $m, n \in R$. Tính $P=m . n$

Accepted Answer

Gọi số phức $w=a+b i$ và $N$ là điểm biểu diễn hình học của $w$. $\left|w-i^{2022} ight|-\left|i^{2023} \cdot \bar{w}-1 ight|=0$ $\Leftrightarrow|w+1|=|\bar{w}-i| \Leftrightarrow(a+1)^2+b^2=a^2+(b+1)^2 \Leftrightarrow a=b$ Gọi số phức $z=x+y i$ và $M$ là điểm biểu diễn hình học của $z$.

$(z-i)(\bar{z}+i)+2 z-3 i=|z|^2+1+2 z+i(z-\bar{z})-3 i=x^2+y^2+2 x-2 y+1+(2 y-3) i$
Do $a=b \Rightarrow x^2+y^2+2 x-2 y+1=(2 y-3) \Leftrightarrow x^2+y^2+2 x-4 y+4=0 ightarrow$ tập hợp điểm $M$ là đường tròn $(C)$ có tâm $I(-1 ; 2), b k R=1$.
Gọi $A(3 ;-1), B(-1 ;-3)$

$T=|z-3+i|^2+|\bar{z}+1-3 i|^2=|z-3+i|^2+|z+1+3 i|^2=M A^2+M B^2$
Gọi $H$ là trung điểm $A B \Rightarrow H(2 ;-1)$ và $T=M A^2+M B^2=2 M H^2+\frac{A B^2}{2}=2 M H^2+10$

$$
\begin{aligned}
& T_{\max } \Leftrightarrow M H_{\max }=I H+R=2 \sqrt{5}+1 ext { Vậy } \max _T=2(2 \sqrt{5}+1)^2+10=52+8 \sqrt{5} \
& \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
m=52 \
n=8
\end{array} \Rightarrow P=52 imes 8=416 ight.
\end{aligned}
$$

Cho số phức và số phức thỏa mãn Giá trị lớn nhất của biểu thức...