cho tam giác ABC vuông cân tại A nội tiếp đường tròn có đường cao AH trên đoạn HC lấy điểm M (M khác H và C). Gọi I,J lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến các cạnh AC và AB, N là điểm đối xứng của M qua IJ.
a) chứng minh 4 điểm A H M I cùng thuộc 1 đường tròn.
b) chứng minh góc MNC = góc ABC

Question

cho tam giác ABC vuông cân tại A nội tiếp đường tròn có đường cao AH trên đoạn HC lấy điểm M (M khác H và C). Gọi I,J lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến các cạnh AC và AB, N là điểm đối xứng của M qua IJ. 
a) chứng minh 4 điểm A H M I cùng thuộc 1 đường tròn. 
b) chứng minh góc MNC = góc ABC

Accepted Answer

a) \begin{equation}
\begin{gathered}
AH\perp BC \
M I \perp A B
\end{gathered}
\end{equation}

\begin{equation}
ext { tứ giác } A H M I ext { nội tiếp đường tròn. }
\end{equation}

b) -) đường trung trực của $A N$ là đường trung trực của $I J$
+ ) Xét tứ giác nội tiếp $A I M J$ có:
$N$ đối xứng với $M$ qua đường kính $I J$
$\Rightarrow N \in$ đường tròn ngoại tiếp tứ giác $A I M J$
$\Rightarrow A, N, J, M$ đồng viên

$\Rightarrow \widehat{N A J}=\widehat{N M J} ext { và } \widehat{M N A}=90^{\circ}$

+ ) Có $\widehat{A J I}=\widehat{N M J}$ (cùng phụ $\widehat{I J M}$ )

$\Rightarrow \widehat{N A J}=\widehat{A J I}$

$\Rightarrow A N / / I J$ kết hợp $A, N, I, J$ đồng viên
$\Rightarrow$ đường trung trực của $A N$ là đường trung trực của $I J$ (1)
- ) đường trung trực của $I J$ đi qua $H$

Do HIAJ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{H I J}=\widehat{H J I}\left(=\widehat{H A B}=\widehat{H A C}=45^{\circ} ight)$

$\Rightarrow$ đường trung trực của $I J$ đi qua $H(2)$
Từ (1)(2) $\Rightarrow H$ thuộc đường trung trực của $A N$

$\Rightarrow N \in(H)$
Kẻ đường kính $A A^{\prime}$
Khi đó:

$$
\begin{aligned}
& \widehat{A N A},=90^{\circ} ext { kết hợp với }(3) \
& \Rightarrow N, M, A^{\prime} ext { thẳng hàng } \
& \Rightarrow \widehat{M N C}=\widehat{A^{\prime} N C}=45^{\circ}=\widehat{A B C}
\end{aligned}
$$

cho tam giác ABC vuông cân tại A nội tiếp đường tròn có đường cao AH trên đoạn HC lấy điểm M (M khác H và C). Gọi I,J lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến các cạnh AC và AB, N là điểm đối xứng...