giải giúp mình câu này ạ Đáp án,Câu 7. [KID] Một sợi dây kim loại dài 60cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông,cạnh a , đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn đường kính r . Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn,là nhỏ nhất thì tỉ số $\frac ar$ bằng bao nhiêu?,Đáp án

Question

Accepted Answer

Câu 7.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định các đại lượng liên quan:
   - Sợi dây kim loại dài 60 cm.
   - Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh $a$.
   - Đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn đường kính $r$.

2. Tìm mối liên hệ giữa các đại lượng:
   - Chều dài đoạn dây thứ nhất là $4a$ (vì chu vi hình vuông là $4a$).
   - Chều dài đoạn dây thứ hai là $\pi r$ (vì chu vi đường tròn là $\pi r$).

3. Xác định điều kiện:
   - Tổng chiều dài của hai đoạn dây là 60 cm:
     $$
     4a + \pi r = 60
     $$

4. Biểu diễn diện tích tổng của hình vuông và hình tròn:
   - Diện tích hình vuông là $a^2$.
   - Diện tích hình tròn là $\pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 = \frac{\pi r^2}{4}$.

Vậy tổng diện tích $S$ là:
   $$
   S = a^2 + \frac{\pi r^2}{4}
   $$

5. Thay $r$ theo $a$ từ điều kiện:
   $$
   \pi r = 60 - 4a \implies r = \frac{60 - 4a}{\pi}
   $$

6. Thay vào biểu thức tổng diện tích:
   $$
   S = a^2 + \frac{\pi \left(\frac{60 - 4a}{\pi}\right)^2}{4} = a^2 + \frac{(60 - 4a)^2}{4\pi}
   $$

7. Tìm giá trị nhỏ nhất của $S$:
   - Để tìm giá trị nhỏ nhất của $S$, chúng ta sẽ tính đạo hàm của $S$ theo $a$ và tìm điểm cực tiểu.
   $$
   S = a^2 + \frac{(60 - 4a)^2}{4\pi}
   $$
   $$
   S' = 2a + \frac{2(60 - 4a)(-4)}{4\pi} = 2a - \frac{2(60 - 4a)}{\pi}
   $$
   Đặt $S' = 0$:
   $$
   2a - \frac{2(60 - 4a)}{\pi} = 0
   $$
   $$
   2a = \frac{2(60 - 4a)}{\pi}
   $$
   $$
   a = \frac{60 - 4a}{\pi}
   $$
   $$
   a\pi = 60 - 4a
   $$
   $$
   a(\pi + 4) = 60
   $$
   $$
   a = \frac{60}{\pi + 4}
   $$

8. Tìm $r$ khi $a$ đạt giá trị nhỏ nhất:
   $$
   r = \frac{60 - 4a}{\pi} = \frac{60 - 4 \cdot \frac{60}{\pi + 4}}{\pi} = \frac{60(\pi + 4) - 240}{\pi(\pi + 4)} = \frac{60\pi}{\pi(\pi + 4)} = \frac{60}{\pi + 4}
   $$

9. Tỉ số $\frac{a}{r}$:
   $$
   \frac{a}{r} = \frac{\frac{60}{\pi + 4}}{\frac{60}{\pi + 4}} = 1
   $$

Vậy tỉ số $\frac{a}{r}$ là 1.

Đáp số: $\frac{a}{r} = 1$.