............ Câu 12. Kí hiệu $F(x)$ là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng x năm. Biết rằng sau năm đầu,tiên cây cao 4 m. Trong 16 năm tiếp theo cây phát triển với tốc độ $f(x)=\frac1{2x+1}$ (m/năm). Xác định chiều cao,của cây sau 5 năm.(làm tròn đến hàng phần trăm) $\int^5_1[4.\frac1{2x+1}+4]dx$,Scanned with

Question

Accepted Answer

Câu 12.
Để xác định chiều cao của cây sau 5 năm, ta cần tính tổng chiều cao cây tăng trong 4 năm tiếp theo sau năm đầu tiên và cộng thêm chiều cao ban đầu của cây.

Chiều cao ban đầu của cây sau năm đầu tiên là 4 m.

Trong 16 năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ $ f(x) = \frac{1}{2x + 1} $ (m/năm).

Ta cần tính tổng chiều cao cây tăng trong 4 năm tiếp theo từ năm thứ hai đến năm thứ năm.

Tổng chiều cao cây tăng trong 4 năm tiếp theo là:
$$ F(5) - F(1) = \int_{1}^{5} f(x) \, dx $$

Tính tích phân:
$$ \int_{1}^{5} \frac{1}{2x + 1} \, dx $$

Thực hiện phép đổi biến $ u = 2x + 1 $, suy ra $ du = 2 \, dx $ hoặc $ dx = \frac{1}{2} \, du $.

Khi $ x = 1 $, $ u = 3 $; khi $ x = 5 $, $ u = 11 $.

Do đó:
$$ \int_{1}^{5} \frac{1}{2x + 1} \, dx = \int_{3}^{11} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{3}^{11} \frac{1}{u} \, du $$

Tích phân của $ \frac{1}{u} $ là $ \ln|u| $:
$$ \frac{1}{2} \left[ \ln|u| \right]_{3}^{11} = \frac{1}{2} (\ln 11 - \ln 3) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{11}{3} \right) $$

Sử dụng máy tính để tính giá trị:
$$ \frac{1}{2} \ln \left( \frac{11}{3} \right) \approx \frac{1}{2} \times 1.335 = 0.6675 $$

Vậy tổng chiều cao cây tăng trong 4 năm tiếp theo là khoảng 0.67 m (làm tròn đến hàng phần trăm).

Chiều cao của cây sau 5 năm là:
$$ F(5) = 4 + 0.67 = 4.67 \text{ m} $$

Đáp số: Chiều cao của cây sau 5 năm là 4.67 m.