giúp tôi với - Nguyên hàm của hàm số $f(x)=( an x+\cot x)^2$ là,$A.~2x+ an x-\cot x+C.$ $B.~2x+ an x+\cot x+C.$,$C.~ an x-\cot x+C.$ $D.~ an x+\cot x+C.$,Câu 6. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=(x-1)^2?$,$A.~F(x)=x^3-x^2+x+C.$ $B.~F(x)=x^3+x^2+x+C.$,$C.~F(x)=\frac{x^3}3-x^2+x+C.$ $D.~F(x)=\frac{x^3}3+x^2+x+C.$,Câu 7. Cho hàm số $f(x)$ thoả mãn $f^\prime(x)=2x-3e^x,~\forall x\in\mathbb R$ và $f(0)=5.$ Khẳng định nào sau,đây đúng?,$A.~f(x)=2x+3e^x+2.$ $B.~f(x)=x^2+3e^x+2.$,$C.~f(x)=2x-3e^x+8.$ $D.~f(x)=x^2-3e^x+8.$,Câu 8. Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=5x\sqrt x~trên~(0;+\infty)$ và $F(1)=5.$,Giá trị của $F(4)$ bằng,A. 70. B. 35. C. 67. D. 69.,Câu 9. Biết hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=4^x$ và $F(1)=\frac1{\ln2}.$ Giá trị,của $F(\frac32).\ln2$ bằng,A. 3. B. 7. C. 5. D. 9.,Câu 10. Giả sử một chất điểm chuyển động với gia tốc tại thời điểm t (giây) được xác định,bởi công thức $a(t)=2t-1(m/s^2).$ Biết rằng vận tốc của chất điểm tại thời điểm ban đầu là,$v_0=2(m/s).$ Vận tốc của chất điểm đó tại thời điểm t (giây) là,$A.~v(t)=2t^2-t+2~(m/s).$ $B.~v(t)=t^2-t+2~(m/s).$,$C.~v(t)=2t^2-t~(m/s).$ $D.~v(t)=t^2-t(m/s).$,B. Tócln lolee,Câu 11. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)$ liên tục trên $\mathbb R$ và $f(2)=3,f(5)=2.$ Giá trị của,$\int^5_2f^\prime(x)dx$ bằng,A. -1. B. 1. C. 5. D. 6.,Câu 12. Nếu hàm số $f(x)$ thoả mãn $\int^3_1f(x)dx=6$ và $\int^5_1f(x)dx=20$ thì giá trị của $\int^5_3f(x)dx$,bằng,A. -14. B. 26. C. 14. D. 28.,Câu 13. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb R.$ Nếu $\int^4_{-1}f(x)dx=2$ thì giá trị của $\int^4_{-1}[4-3f(x)]dx$,bằng,A. -2. B. 14. C. 5. D. -4.

Question

giúp tôi với - Nguyên hàm của hàm số $f(x)=(	an x+\cot x)^2$ là,$A.~2x+	an x-\cot x+C.$ $B.~2x+	an x+\cot x+C.$,$C.~	an x-\cot x+C.$ $D.~	an x+\cot x+C.$,Câu 6. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=(x-1)^2?$,$A.~F(x)=x^3-x^2+x+C.$ $B.~F(x)=x^3+x^2+x+C.$,$C.~F(x)=\frac{x^3}3-x^2+x+C.$ $D.~F(x)=\frac{x^3}3+x^2+x+C.$,Câu 7. Cho hàm số $f(x)$ thoả mãn $f^\prime(x)=2x-3e^x,~\forall x\in\mathbb R$ và $f(0)=5.$ Khẳng định nào sau,đây đúng?,$A.~f(x)=2x+3e^x+2.$ $B.~f(x)=x^2+3e^x+2.$,$C.~f(x)=2x-3e^x+8.$ $D.~f(x)=x^2-3e^x+8.$,Câu 8. Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=5x\sqrt x~trên~(0;+\infty)$ và $F(1)=5.$,Giá trị của $F(4)$ bằng,A. 70. B. 35. C. 67. D. 69.,Câu 9. Biết hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=4^x$ và $F(1)=\frac1{\ln2}.$ Giá trị,của $F(\frac32).\ln2$ bằng,A. 3. B. 7. C. 5. D. 9.,Câu 10. Giả sử một chất điểm chuyển động với gia tốc tại thời điểm t (giây) được xác định,bởi công thức $a(t)=2t-1(m/s^2).$ Biết rằng vận tốc của chất điểm tại thời điểm ban đầu là,$v_0=2(m/s).$ Vận tốc của chất điểm đó tại thời điểm t (giây) là,$A.~v(t)=2t^2-t+2~(m/s).$ $B.~v(t)=t^2-t+2~(m/s).$,$C.~v(t)=2t^2-t~(m/s).$ $D.~v(t)=t^2-t(m/s).$,B. Tócln lolee,Câu 11. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)$ liên tục trên $\mathbb R$ và $f(2)=3,f(5)=2.$ Giá trị của,$\int^5_2f^\prime(x)dx$ bằng,A. -1. B. 1. C. 5. D. 6.,Câu 12. Nếu hàm số $f(x)$ thoả mãn $\int^3_1f(x)dx=6$ và $\int^5_1f(x)dx=20$ thì giá trị của $\int^5_3f(x)dx$,bằng,A. -14. B. 26. C. 14. D. 28.,Câu 13. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb R.$ Nếu $\int^4_{-1}f(x)dx=2$ thì giá trị của $\int^4_{-1}[4-3f(x)]dx$,bằng,A. -2. B. 14. C. 5. D. -4.

Accepted Answer

Câu 6.
Để tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = (x-1)^2 $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Mở rộng biểu thức $ (x-1)^2 $:
$$ (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 $$

Bước 2: Tìm nguyên hàm của mỗi hạng tử trong biểu thức $ x^2 - 2x + 1 $:
$$ \int (x^2 - 2x + 1) \, dx = \int x^2 \, dx - \int 2x \, dx + \int 1 \, dx $$

Bước 3: Tính nguyên hàm từng hạng tử:
$$ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} $$
$$ \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2 $$
$$ \int 1 \, dx = x $$

Bước 4: Kết hợp các kết quả trên và thêm hằng số $ C $:
$$ \int (x^2 - 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + C $$

Do đó, nguyên hàm của hàm số $ f(x) = (x-1)^2 $ là:
$$ F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + C $$

Vậy đáp án đúng là:
C. $ F(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + C $

Câu 7.
Để tìm hàm số $ f(x) $ thỏa mãn $ f'(x) = 2x - 3e^x $ và $ f(0) = 5 $, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tích phân $ f'(x) $ để tìm $ f(x) $.

$$ f(x) = \int (2x - 3e^x) \, dx $$

Tích phân từng thành phần:

$$ \int 2x \, dx = x^2 + C_1 $$
$$ \int -3e^x \, dx = -3e^x + C_2 $$

Vậy:

$$ f(x) = x^2 - 3e^x + C $$

Bước 2: Áp dụng điều kiện $ f(0) = 5 $ để tìm hằng số $ C $.

$$ f(0) = 0^2 - 3e^0 + C = 5 $$
$$ 0 - 3 + C = 5 $$
$$ C = 8 $$

Bước 3: Thay $ C $ vào biểu thức của $ f(x) $:

$$ f(x) = x^2 - 3e^x + 8 $$

Vậy khẳng định đúng là:

D. $ f(x) = x^2 - 3e^x + 8 $.

Câu 8.
Để tìm giá trị của $F(4)$, chúng ta cần tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 5x\sqrt{x}$ và sử dụng điều kiện ban đầu $F(1) = 5$ để xác định hằng số tích phân.

Bước 1: Tìm nguyên hàm của $f(x) = 5x\sqrt{x}$

Ta có:
$$ f(x) = 5x\sqrt{x} = 5x^{1 + \frac{1}{2}} = 5x^{\frac{3}{2}} $$

Nguyên hàm của $f(x)$ là:
$$ F(x) = \int 5x^{\frac{3}{2}} \, dx $$

Áp dụng công thức nguyên hàm $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, ta có:
$$ F(x) = 5 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2} + 1}}{\frac{3}{2} + 1} + C = 5 \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C = 5 \cdot \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C = 2x^{\frac{5}{2}} + C $$

Bước 2: Xác định hằng số tích phân $C$

Sử dụng điều kiện $F(1) = 5$:
$$ F(1) = 2 \cdot 1^{\frac{5}{2}} + C = 2 + C = 5 $$
$$ C = 5 - 2 = 3 $$

Vậy, nguyên hàm của $f(x)$ là:
$$ F(x) = 2x^{\frac{5}{2}} + 3 $$

Bước 3: Tính giá trị của $F(4)$

Thay $x = 4$ vào biểu thức của $F(x)$:
$$ F(4) = 2 \cdot 4^{\frac{5}{2}} + 3 $$

Tính $4^{\frac{5}{2}}$:
$$ 4^{\frac{5}{2}} = (2^2)^{\frac{5}{2}} = 2^5 = 32 $$

Do đó:
$$ F(4) = 2 \cdot 32 + 3 = 64 + 3 = 67 $$

Vậy giá trị của $F(4)$ là 67.

Đáp án đúng là: C. 67.

Câu 9.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x) = 4^x $.
2. Xác định hằng số trong nguyên hàm dựa trên điều kiện $ F(1) = \frac{1}{\ln 2} $.
3. Tính giá trị của $ F\left(\frac{3}{2}\right) $.
4. Tính giá trị của $ F\left(\frac{3}{2}\right) \cdot \ln 2 $.

Bước 1: Tìm nguyên hàm của $ f(x) = 4^x $.

Ta biết rằng:
$$ 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} $$

Nguyên hàm của $ 2^{2x} $ là:
$$ \int 2^{2x} \, dx = \frac{2^{2x}}{2 \ln 2} + C = \frac{4^x}{2 \ln 2} + C $$

Do đó, nguyên hàm của $ f(x) = 4^x $ là:
$$ F(x) = \frac{4^x}{2 \ln 2} + C $$

Bước 2: Xác định hằng số $ C $ dựa trên điều kiện $ F(1) = \frac{1}{\ln 2} $.

Thay $ x = 1 $ vào $ F(x) $:
$$ F(1) = \frac{4^1}{2 \ln 2} + C = \frac{4}{2 \ln 2} + C = \frac{2}{\ln 2} + C $$

Theo điều kiện $ F(1) = \frac{1}{\ln 2} $:
$$ \frac{2}{\ln 2} + C = \frac{1}{\ln 2} $$
$$ C = \frac{1}{\ln 2} - \frac{2}{\ln 2} = -\frac{1}{\ln 2} $$

Vậy, nguyên hàm của $ f(x) = 4^x $ là:
$$ F(x) = \frac{4^x}{2 \ln 2} - \frac{1}{\ln 2} $$

Bước 3: Tính giá trị của $ F\left(\frac{3}{2}\right) $.

Thay $ x = \frac{3}{2} $ vào $ F(x) $:
$$ F\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{4^{\frac{3}{2}}}{2 \ln 2} - \frac{1}{\ln 2} $$

Ta biết rằng:
$$ 4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8 $$

Do đó:
$$ F\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{8}{2 \ln 2} - \frac{1}{\ln 2} = \frac{4}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} = \frac{3}{\ln 2} $$

Bước 4: Tính giá trị của $ F\left(\frac{3}{2}\right) \cdot \ln 2 $.

$$ F\left(\frac{3}{2}\right) \cdot \ln 2 = \left(\frac{3}{\ln 2}\right) \cdot \ln 2 = 3 $$

Vậy giá trị của $ F\left(\frac{3}{2}\right) \cdot \ln 2 $ là 3.

Đáp án đúng là: A. 3.

Câu 10.
Để tìm vận tốc của chất điểm tại thời điểm t, ta cần tích phân gia tốc theo thời gian và sử dụng điều kiện ban đầu để xác định hằng số tích phân.

Bước 1: Tích phân gia tốc để tìm vận tốc:
$$ v(t) = \int a(t) \, dt = \int (2t - 1) \, dt $$

Bước 2: Thực hiện tích phân:
$$ v(t) = \int 2t \, dt - \int 1 \, dt = t^2 - t + C $$
Trong đó, $C$ là hằng số tích phân.

Bước 3: Áp dụng điều kiện ban đầu $v(0) = 2$:
$$ v(0) = 0^2 - 0 + C = 2 $$
$$ C = 2 $$

Bước 4: Thay hằng số $C$ vào biểu thức vận tốc:
$$ v(t) = t^2 - t + 2 $$

Vậy vận tốc của chất điểm tại thời điểm t là:
$$ v(t) = t^2 - t + 2 \, (m/s) $$

Đáp án đúng là: B. $v(t) = t^2 - t + 2 \, (m/s)$

Câu 11.
Ta có:
$$
\int_{2}^{5} f'(x) \, dx = f(x) \Big|_{2}^{5} = f(5) - f(2)
$$
Thay các giá trị đã cho vào:
$$
f(5) - f(2) = 2 - 3 = -1
$$

Vậy giá trị của $\int_{2}^{5} f'(x) \, dx$ là -1.

Đáp án đúng là: A. -1.

Câu 12.
Để tính giá trị của $\int^5_3 f(x) dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân:

$$
\int^5_1 f(x) dx = \int^3_1 f(x) dx + \int^5_3 f(x) dx
$$

Biết rằng:

$$
\int^3_1 f(x) dx = 6
$$
$$
\int^5_1 f(x) dx = 20
$$

Thay vào công thức trên, ta có:

$$
20 = 6 + \int^5_3 f(x) dx
$$

Giải phương trình này để tìm $\int^5_3 f(x) dx$:

$$
\int^5_3 f(x) dx = 20 - 6 = 14
$$

Vậy giá trị của $\int^5_3 f(x) dx$ là 14.

Đáp án đúng là: C. 14.

Câu 13.
Để tính giá trị của $\int^4_{-1}[4-3f(x)]dx$, ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân và các dữ liệu đã cho.

Bước 1: Ta biết rằng $\int^4_{-1}f(x)dx=2$.

Bước 2: Ta sẽ tách tích phân $\int^4_{-1}[4-3f(x)]dx$ thành hai phần:
$$
\int^4_{-1}[4-3f(x)]dx = \int^4_{-1}4dx - \int^4_{-1}3f(x)dx
$$

Bước 3: Tính từng phần riêng lẻ:
- Tích phân $\int^4_{-1}4dx$ là tích của hằng số 4 và khoảng dài từ -1 đến 4:
$$
\int^4_{-1}4dx = 4 \times (4 - (-1)) = 4 \times 5 = 20
$$
- Tích phân $\int^4_{-1}3f(x)dx$ là 3 lần tích phân của $f(x)$ từ -1 đến 4:
$$
\int^4_{-1}3f(x)dx = 3 \times \int^4_{-1}f(x)dx = 3 \times 2 = 6
$$

Bước 4: Kết hợp lại:
$$
\int^4_{-1}[4-3f(x)]dx = 20 - 6 = 14
$$

Vậy giá trị của $\int^4_{-1}[4-3f(x)]dx$ là 14.

Đáp án đúng là: B. 14.