bajshshsjs Bất phương trình $\log_2(x^2+x+3)

Question

bajshshsjs Bất phương trình $\log_2(x^2+x+3)<2~có~tập~nghiệm~là~S=(a;b).~Tính~b-a.$,OA. b - a = 5,Oc. b - a = 2 OD. b - a = 2v5

Accepted Answer

Để giải bất phương trình $\log_2(x^2 + x + 3) < 2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong logarit dương: $$ x^2 + x + 3 > 0 $$ Biểu thức $x^2 + x + 3$ luôn dương vì nó là một parabol mở lên và có đỉnh ở $x = -\frac{1}{2}$, với giá trị tại đỉnh là: $$ \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) + 3 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 3 = \frac{11}{4} > 0 $$ Do đó, ĐKXĐ là tất cả các số thực. 2. Giải bất phương trình: Ta có: $$ \log_2(x^2 + x + 3) < 2 $$ Điều này tương đương với: $$ x^2 + x + 3 < 2^2 $$ $$ x^2 + x + 3 < 4 $$ $$ x^2 + x - 1 < 0 $$ 3. Giải phương trình bậc hai để tìm các nghiệm: Ta giải phương trình: $$ x^2 + x - 1 = 0 $$ Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ Với $a = 1$, $b = 1$, $c = -1$, ta có: $$ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} $$ Vậy hai nghiệm là: $$ x_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} $$ 4. Xác định khoảng nghiệm của bất phương trình: Phương trình $x^2 + x - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt, do đó biểu thức $x^2 + x - 1$ sẽ nhỏ hơn 0 trong khoảng giữa hai nghiệm: $$ \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} < x < \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} $$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $$ S = \left( \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \right) $$ 5. Tính $b - a$: Trong tập nghiệm $S = (a; b)$, ta có: $$ a = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \quad b = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} $$ Do đó: $$ b - a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} - \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{5} + 1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} $$ Vậy đáp án đúng là: D. $b - a = \sqrt{5}$