bajshshsjs

Để giải bất phương trình $\log_2(x^2 + x + 3) < 2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong logarit dương: \[ x^2 + x + 3 > 0 \] Biểu thức $x^2 + x + 3$ luôn dương vì nó là một parabol mở lên và có đỉnh ở $x = -\frac{1}{2}$, với giá trị tại đỉnh là: \[ \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) + 3 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 3 = \frac{11}{4} > 0 \] Do đó, ĐKXĐ là tất cả các số thực. 2. Giải bất phương trình: Ta có: \[ \log_2(x^2 + x + 3) < 2 \] Điều này tương đương với: \[ x^2 + x + 3 < 2^2 \] \[ x^2 + x + 3 < 4 \] \[ x^2 + x - 1 < 0 \] 3. Giải phương trình bậc hai để tìm các nghiệm: Ta giải phương trình: \[ x^2 + x - 1 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với $a = 1$, $b = 1$, $c = -1$, ta có: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \] Vậy hai nghiệm là: \[ x_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \] 4. Xác định khoảng nghiệm của bất phương trình: Phương trình $x^2 + x - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt, do đó biểu thức $x^2 + x - 1$ sẽ nhỏ hơn 0 trong khoảng giữa hai nghiệm: \[ \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} < x < \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \[ S = \left( \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \right) \] 5. Tính $b - a$: Trong tập nghiệm $S = (a; b)$, ta có: \[ a = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}, \quad b = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \] Do đó: \[ b - a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} - \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} = \frac{-1 + \sqrt{5} + 1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} \] Vậy đáp án đúng là: D. $b - a = \sqrt{5}$